求两类数值积分公式并验证适用性及与梯形/矩形法则的关联

问题1：[0,1]区间两点积分公式推导 #

咱们要找形如 $\int_0^1 f(x)dx=af(0)+bf(1)$ 的公式，要求它对 $f(x)=1$ 和 $f(x)=x^2$ 的积分结果完全准确。

推导步骤 #

1. 代入 $f(x)=1$：
   左边的积分结果是 $\int_0^1 1dx=1$，右边是 $a\cdot1 + b\cdot1 = a+b$，于是得到第一个方程：
   $$a + b = 1$$

2. 代入 $f(x)=x^2$：
   左边积分得 $\int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}$，右边是 $a\cdot0^2 + b\cdot1^2 = b$，所以第二个方程：
   $$b = \frac{1}{3}$$

把 $b=\frac{1}{3}$ 代入第一个方程，算出 $a=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。最终得到的数值积分公式是：
$$\int_0^1 f(x)dx=\frac{2}{3}f(0)+\frac{1}{3}f(1)$$

验证对 $f(x)=x$ 是否成立 #

先算左边的精确积分：$\int_0^1 xdx=\frac{1}{2}$
再代入公式算右边：$\frac{2}{3}\cdot0 + \frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}$
显然 $\frac{1}{2}\neq\frac{1}{3}$，所以这个公式对 $f(x)=x$ 不成立。

问题2：[-1,1]区间三点积分公式推导 #

目标是构造 $\int_{-1}^1 f(x)dx=af(-1)+bf(0)+cf(1)$，要求对 $f(x)=x$、$f(x)=x^2$、$f(x)=x3$ 的积分结果准确。

推导步骤 #

这里用插值型积分的思路来推：构造过 $(-1,f(-1))$、$(0,f(0))$、$(1,f(1))$ 的Lagrange插值多项式，对多项式积分得到系数 $a,b,c$，同时满足三次多项式的积分准确要求。

逐个代入目标函数列方程：

1. 代入 $f(x)=x$：
   左边积分 $\int_{-1}^1 xdx=0$，右边是 $a\cdot(-1)+b\cdot0 + c\cdot1 = -a + c$，得到方程：
   $$-a + c = 0 \implies c = a$$

2. 代入 $f(x)=x^2$：
   左边积分 $\int_{-1}^1 x^2dx=\frac{2}{3}$，右边是 $a\cdot(-1)^2 + b\cdot0^2 + c\cdot1^2 = a + c$，结合 $c=a$，得：
   $$2a = \frac{2}{3} \implies a = \frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}$$

3. 代入 $f(x)=1$（补充独立方程，因为$f(x)=x$和$f(x)=x^3$的方程线性相关）：
   左边积分 $\int_{-1}^1 1dx=2$，右边是 $a + b + c$，代入 $a=c=\frac{1}{3}$，得：
   $$\frac{1}{3} + b + \frac{1}{3} = 2 \implies b = \frac{4}{3}$$

最终得到的公式是：
$$\int_{-1}^1 f(x)dx=\frac{1}{3}f(-1)+\frac{4}{3}f(0)+\frac{1}{3}f(1)$$
（其实这就是区间缩放到[-1,1]的辛普森1/3法则）

验证其他函数的积分准确性 #

• 对 $f(x)=1$：左边积分=2，右边=$\frac{1}{3}\cdot1+\frac{4}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot1=2$，结果准确。
• **对 $f(x)=x^{4$**：左边积分=$\int_{-1}}1 x^4dx=\frac{2}{5}$，右边=$\frac{1}{3}\cdot1+\frac{4}{3}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot1=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{5}\neq\frac{2}{3}$，结果不准确。
• 对 $f(x)=x^5$：左边积分=0，右边=$\frac{1}{3}\cdot(-1)+\frac{4}{3}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot1=0$，结果准确。

与梯形/矩形法则的关系 #

这个公式和梯形法则、矩形法则都不相同：

• 梯形法则在[-1,1]上的形式是 $\int_{-1}^1 f(x)dx\approx f(-1)+f(1)$，只用到两个端点，精度为1次（对一次多项式准确）。
• 矩形法则（中点法则）是 $\int_{-1}^1 f(x)dx\approx2f(0)$，只用到中点，精度为2次（对二次多项式准确）。
• 咱们推导的这个公式结合了端点和中点的函数值，权重不同，精度达到3次（对三次多项式都准确），是比前两者精度更高的辛普森1/3法则。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james black