全有界集子集的全有界性证明困惑：球心取自子集的问题

嘿，这个问题确实容易在定义的细节上卡壳，我来一步步给你捋清楚怎么解决这个球心的问题～

首先明确你困惑的核心：已知全有界集$A$的$\epsilon$-覆盖球心在$A$中，但子集$B \subseteq A$需要的是**球心取自$B$**的有限$\epsilon$-覆盖，怎么从$A$的覆盖转化过来对吧？别慌，我们用三角不等式就能搞定这个细节：

具体证明步骤 #

• 利用$A$的全有界性构造小半径覆盖
  给定任意$\epsilon > 0$，因为$A$全有界，所以对$\epsilon/2 > 0$，存在有限个点$a_1, a_2, \dots, a_m \in A$，使得：
  $$A \subseteq \bigcup_{i=1}^m B(a_i, \epsilon/2)$$

• 筛选并选取$B$中的球心
  我们只保留那些和$B$有交集的$\epsilon/2$-球，记这些球的下标集合为$I = {i \mid 1 \leq i \leq m,\ B(a_i, \epsilon/2) \cap B \neq \emptyset}$。
  对于每个$i \in I$，取一个点$b_i \in B(a_i, \epsilon/2) \cap B$——因为交集非空，这样的$b_i$一定存在，而且**$b_i$是$B$中的点**，这正是我们需要的球心！

• 验证新覆盖能包住$B$
  任取$b \in B$，因为$b \in A$，所以它一定在某个$B(a_i, \epsilon/2)$里，这个$i$自然属于$I$。根据三角不等式：
  $$d(b, b_i) \leq d(b, a_i) + d(a_i, b_i)$$
  而$d(b, a_i) < \epsilon/2$，$d(a_i, b_i) < \epsilon/2$，所以两者相加小于$\epsilon$，也就是说$b \in B(b_i, \epsilon)$。

• 得出结论
  我们找到了有限个来自$B$的点${b_i \mid i \in I}$，它们的$\epsilon$-球完全覆盖了$B$，这就满足了全有界的定义。

关键思路拆解 #

你之前卡壳的点在于“必须用$B$里的点当球心”，这里的技巧是：

• 先把原覆盖的半径缩小一半，这样每个和$B$相交的小球里，必然存在$B$中的点可以当新球心；
• 再把新球的半径放大回$\epsilon$，借助三角不等式保证原$B$中的所有点都能被这些新球覆盖。

这样就完美贴合定义的要求啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhon Doe