等距复合矩形法则误差表达式及误差界推导问询

首先得澄清一点：你写的公式$\int_b^a f(x)dx ≈ h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$（其中$x_i=a+ih$）其实是左矩形法则，但你给出的误差界是**中点矩形法则（Midpoint Rule，记为$M_n[f]$）**的误差界——中点法则的近似式应该是每个区间取中点$c_i = a + (i+0.5)h$，即$M_n[f] = h\sum_{i=0}^{n-1}f(c_i)$。我猜是你笔误了，下面我会基于中点法则来推导误差，因为它的误差界正好是你给出的形式。

1. 先从单个区间的误差入手 #

复合法则的核心是把大区间$[a,b]$拆成$n$个等长小区间：$[x_0,x_1], [x_1,x_2], ..., [x_{n-1},x_n]$，其中$x_i = a + ih$，$h=(b-a)/n$，每个小区间长度都是$h$。

先看单个小区间$[x_i, x_{i+1}]$，中点为$c_i = x_i + h/2$。我们用$h \cdot f(c_i)$来近似这个区间上的积分$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx$，单个区间的误差记为：
$$E_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx - h f(c_i)$$

用泰勒展开推导单个区间误差 #

把$f(x)$在中点$c_i$处做泰勒展开（到二阶项，带拉格朗日余项）：
$$f(x) = f(c_i) + f'(c_i)(x - c_i) + \frac{1}{2}f''(\xi_i(x))(x - c_i)^2$$
其中$\xi_i(x)$是介于$c_i$和$x$之间的某个值，依赖于$x$。

对两边在$[x_i, x_{i+1}]$上积分：
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}}f(c_i)dx + f'(c_i)\int_{x_i}^{x_{i+1}}(x - c_i)dx + \frac{1}{2}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f''(\xi_i(x))(x - c_i)^2dx$$

现在逐项计算：

• 第一项：$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(c_i)dx = h f(c_i)$，这正好是中点法则的近似项；
• 第二项：$(x - c_i)$是关于中点$c_i$的奇函数，在对称区间$[x_i, x_{i+1}]$（即$[c_i - h/2, c_i + h/2]$）上积分结果为0；
• 第三项：利用积分中值定理，因为$(x - c_i)^2$在区间上非负，且$f''$连续，所以存在某个$\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$，使得：
  $$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f''(\xi_i(x))(x - c_i)^2dx = f''(\xi_i)\int_{x_i}^{x_{i+1}}(x - c_i)^2dx$$
  计算积分$\int_{x_i}^{x_{i+1}}(x - c_i)^2dx = \int_{-h/2}^{h/2}u2du = \frac{h^3}{12}$（令$u=x-c_i$）。

把这些结果代入，单个区间的误差就简化为：
$$E_i = \frac{1}{2} \cdot f''(\xi_i) \cdot \frac{h^3}{12} = \frac{h^3}{24}f''(\xi_i)$$

2. 复合法则的总误差 #

复合中点法则的总误差是所有小区间误差的和：
$$E = \sum_{i=0}^{n-1}E_i = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{h3}{24}f''(\xi_i)$$

现在利用连续函数的介值定理：因为$f''$在闭区间$[a,b]$上连续，所以存在某个$\xi \in [a,b]$，使得$\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i) = n f''(\xi)$（可以理解为$n$个$f''(\xi_i)$的平均值等于$f''$在某个点的值）。

代入总误差公式：
$$E = \frac{h^3}{24} \cdot n f''(\xi)$$

注意到$nh = (b-a)$（因为$h=(b-a)/n$），且$h^2 = \frac{(b-a)^2}{n2}$，所以把$h^3$拆成$h2 \cdot h$，代入得：
$$E = \frac{(b-a)^3}{24n2}f''(\xi)$$

3. 解释误差界的由来 #

误差的绝对值就是：
$$|I[f] - M_n[f]| = |E| = \left| \frac{(b-a)^3}{24n2}f''(\xi) \right|$$

因为$\xi \in [a,b]$，所以$|f''(\xi)| \le \max_{x\in[a,b]}|f''(x)|$，代入后就得到了误差界：
$$|I[f] - M_n[f]| \le \frac{(b-a)^3}{24n2}\max_{x\in [a,b]}|f''(x)|$$

这里几个关键点：

• 误差和$n^2$成反比：当你把区间份数$n$翻倍时，误差会变成原来的$1/4$，这也是中点法则是二阶方法的体现；
• 误差依赖于$f''$的最大值：如果$f$是线性函数（$f''=0$），中点法则的误差为0，这符合直觉——线性函数的积分用中点矩形完全准确；
• 系数$1/24$来自单个区间积分的计算和介值定理的合并，是推导过程中自然得到的常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者james black