球面上四点构成四面体，球心被其任一面包含的概率求解

咱们来拆解这两个相关的概率问题，顺便纠正一下你提到的思路误区：

• 问题1：球面上取四个顶点构成四面体，球心被该四面体任意一个面包含的概率是多少？
• 问题2：在球面上任意选取四个点构成四面体，求球心被该四面体任意一个面包含的概率。这是1992年普特南数学竞赛第6题的变体。

首先，先澄清一个关键误区：你提到的答案是$\frac{1}{8}$乘以正四面体的表面积与体积之比，这个思路肯定不成立——概率是无量纲的数值，而表面积与体积的比值具有长度的倒数量纲，两者相乘后量纲不匹配，所以这个方向是错误的。

接下来咱们回到问题本身，结合普特南原题的背景，这里“球心被四面体任意一个面包含”的准确数学含义应该是球心与四面体的第四个顶点分处该面所在平面的两侧（也就是球心不在四面体内部，被某个面“隔开”）：

1. 先回顾1992年普特南第6题的结论：随机选取球面上四点构成的四面体包含球心的概率是$\frac{1}{8}$。这个结论的核心思路是利用球面对称性，通过分析四个点的对径点组合，得出只有当每个点都不在另外三个点所张成的半球时，球心才会落在四面体内部，对应的概率为$\frac{1}{8}$。

2. 对于你的变体问题，“球心被该四面体任意一个面包含”的事件，其补集就是“球心在四面体内部”（此时对于所有面，第四个顶点都和球心在平面的同侧）。因此，所求的概率就是：
   $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

如果题目中的“被面包含”是指球心落在面所在平面的三角形内部，那概率会是0（三维空间中点落在二维平面区域的测度为0），但结合普特南变体的背景，显然前者的理解是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Of course it's not me