独立同分布正态分布下P(X>|2Y|)的概率计算问询

嗨，我来一步步帮你搞定这个概率计算问题～ 已知X、Y独立同分布于N(0,σ²)，要求P(X>|2Y|)，而且已经知道X-2Y ~ N(0,5σ²)，我们可以从两种思路入手：

因为X和Y独立，它们的联合概率密度函数是各自pdf的乘积：
f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}

首先，P(X>|2Y|) 等价于事件 X>2Y 且 X>-2Y（因为|2Y|取非负值，X必须大于这个非负值，同时覆盖Y正、负两种情况）。我们可以标准化变量简化计算：令U = X/σ，V = Y/σ，这样U和V都是标准正态分布N(0,1)且独立，问题转化为求P(U>|2V|)，σ会被消掉，结果和σ无关。

接下来用极坐标变换简化积分：
令u = r\cosθ，v = r\sinθ（r>0，θ∈(-π,π)），雅可比行列式为r，联合pdf变为\frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}}。

事件U>|2V|对应的角度范围：

• 当θ∈(0, π/2)时，\cosθ > 2\sinθ → \tanθ < 1/2 → θ < \arctan(1/2)
• 当θ∈(-π/2, 0)时，\cosθ > -2\sinθ → \tanθ > -1/2 → θ > -\arctan(1/2)

所以角度区间的总长度是2\arctan(1/2)，对r积分后（内层积分结果为1），最终得到：
P(U>|2V|) = \frac{\arctan(1/2)}{\pi} ≈ 0.1476

题目已经给出X-2Y ~ N(0,5σ²)，同理可得X+2Y ~ N(0,5σ²)（因为Y是对称分布，-Y和Y同分布）。

注意到X>|2Y|等价于 X-2Y>0 且 X+2Y>0，现在我们只需要计算二维正态变量(U,V)在第一象限的概率，其中U=X-2Y，V=X+2Y。

首先计算它们的相关系数ρ：
因为X、Y独立，Cov(U,V) = Cov(X-2Y, X+2Y) = Var(X) - 4Var(Y) = σ² -4σ² = -3σ²
Var(U)=Var(V)=5σ²，所以ρ = \frac{Cov(U,V)}{\sqrt{Var(U)Var(V)}} = \frac{-3σ²}{5σ²} = -\frac{3}{5}

对于均值为0、方差相等的二维正态分布，有现成的象限概率公式：
P(U>0, V>0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \arcsin(ρ)

代入ρ=-3/5：
P(U>0, V>0) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi} \arcsin(\frac{3}{5}) ≈ 0.25 - 0.1024 ≈ 0.1476

两种方法得到的结果一致，完美验证了正确性～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Needle