求所有满足正规子群为ℤ且商群G/ℤ≅ℤ₂的群G

咱们来解决这个群论问题：找出所有群G，使得G包含一个同构于$\mathbb{Z}$（整数加法群）的正规子群，并且商群$G/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_2$（2阶循环群）。这个问题本质上是群扩张问题——用$\mathbb{Z}_2$扩张$\mathbb{Z}$，我们可以通过分析扩张的同构类来得到完整的解。

已知的阿贝尔解 #

你提到的两个阿贝尔解完全正确，咱们再把细节说清楚：

• $G \cong \mathbb{Z}$：这里对应的正规子群是$2\mathbb{Z}$（所有偶数构成的加法群），而$2\mathbb{Z}$本身就同构于$\mathbb{Z}$，商群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$自然同构于$\mathbb{Z}_2$，完全符合条件。这个扩张是非分裂的，因为$\mathbb{Z}$里没有2阶元，没法把商群的元素“拉回”成G里的2阶元。
• $G \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$：这个直和群里，$\mathbb{Z}$作为第一个分量是正规子群，商群就是第二个分量$\mathbb{Z}_2$，显然满足条件。这是个分裂的阿贝尔扩张，因为你可以直接把$\mathbb{Z}_2$的元素嵌入到G里（比如$(0,1)$就是2阶元）。

非阿贝尔解：无限二面体群 #

除了阿贝尔群，还有一个非阿贝尔的解，就是无限二面体群$D_\infty$。它的定义可以写成：
D_\infty = \langle a, b \mid a^2 = e, b \text{ 是无限阶元}, aba = b^{-1} \rangle

咱们来验证它满足条件：

• 取子群$H = \langle b \rangle$，显然$H$同构于$\mathbb{Z}$；而且因为$aba = b^{{-1}$，所以$aHa}{-1} = H$，G里其他元素都是$ab^k$的形式，共轭后也会把$H$映射到自身，所以$H$是G的正规子群。
• 商群$D_\infty / H$由$aH$生成，$aH$的阶是2，正好同构于$\mathbb{Z}_2$，完美符合要求。

完整的分类结论 #

在同构意义下，所有满足条件的群G共有三个：

1. 整数加法群$\mathbb{Z}$：正规子群为$2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$，商群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_2$；
2. 直积群$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$：正规子群为第一个分量$\mathbb{Z}$，商群为第二个分量$\mathbb{Z}_2$；
3. 无限二面体群$D_\infty$：正规子群为无限阶生成元生成的子群$\langle b \rangle \cong \mathbb{Z}$，商群为$\langle aH \rangle \cong \mathbb{Z}_2$。

换个角度理解：

• 当$\mathbb{Z}_2$对$\mathbb{Z}$的作用是平凡的时，得到两个阿贝尔扩张：非分裂的$\mathbb{Z}$和分裂的$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$；
• 当$\mathbb{Z}2$对$\mathbb{Z}$的作用是非平凡的（即把每个元素映射到它的逆）时，得到非阿贝尔的半直积$D\infty$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tomáš Bzdušek