证明CS(BA)⊆CS(A)的包含关系并非恒成立的技术疑问

注：CS即列空间（Column Space），指矩阵所有列向量张成的向量空间。

我们已经知道**CS(AB) ⊆ CS(A)**是铁定成立的——因为AB的每一列都是A的列向量的线性组合，肯定属于CS(A)的子空间。但反过来，“CS(BA)一定是CS(A)的子空间”这个说法就不对了，下面我用你给出的例子，整理成严谨的数学证明：

1. 构造反例矩阵 #

先定义两个2×2矩阵：
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}，B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{pmatrix}

这里A的列向量是\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}和\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}，刚好对应你说的“x[0;0]+y[1;2]”的线性组合形式。

2. 计算矩阵乘积BA #

按照矩阵乘法规则计算BA：

BA = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5*0 + 0*0 & 5*1 + 0*2 \\ 7*0 + 0*0 & 7*1 + 0*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}

3. 分析两个列空间 #

• CS(A)的构成：因为零向量\mathbf{a}_1对张成空间没有贡献，所以CS(A)是由\mathbf{a}_2张成的一维空间，也就是所有形如 k\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}（k为任意实数）的向量集合。换句话说，CS(A)里的向量都满足“第二分量是第一分量的2倍”这个条件。
• CS(BA)的构成：BA的列向量是\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}和\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}，所以CS(BA)包含向量\mathbf{v} = \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}。

4. 严谨证明\mathbf{v} ∉ CS(A) #

假设存在实数k，使得k\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}，根据向量相等的定义，对应分量必须相等：

• 第一分量：k = 5
• 第二分量：2k = 7

把k=5代入第二分量的等式，得到2*5=10≠7，这显然矛盾。所以不存在这样的实数k，说明\mathbf{v}不属于CS(A)。

结论 #

因为\mathbf{v} ∈ CS(BA)但\mathbf{v} ∉ CS(A)，所以CS(BA)不可能是CS(A)的子空间。这就证明了“CS(BA)是CS(A)的子空间”这个包含关系并非总是成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dan