求满足负指数Hölder条件的函数f的性质证明提示

先明确问题背景：给定函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，对任意$x \neq y \in \mathbb{R}$，均有$|f(x) - f(y)| \leq \frac{1}{|x-y|}$，我们来逐一分析它具备选项中的哪些性质：

选项分析与证明提示 #

A) 有界 #

结论：$f$一定是有界函数
证明提示：
假设$f$无界，那必然存在序列${x_n}$使得$|f(x_n)| \to +\infty$。根据题设条件，对任意$n, m$都有$|f(x_n) - f(x_m)| \leq \frac{1}{|x_n - x_m|}$，因此可以推出$|f(x_n)| \leq |f(x_m)| + \frac{1}{|x_n - x_m|}$。
如果${x_n}$趋向无穷大，取$m=1$，当$n$足够大时，$|x_n - x_1| \geq |x_n| - |x_1|$，此时$\frac{1}{|x_n - x_1|} < |f(x_n)| - |f(x_1)|$（因为$|f(x_n)|$趋向无穷），代入上面的不等式会得到$|f(x_n)| \leq |f(x_1)| + |f(x_n)| - |f(x_1)|$，这显然矛盾。因此$f$不可能无界，必然有界。

B) 连续 #

结论：$f$一定是连续函数
证明提示：
任取$x_0 \in \mathbb{R}$，要证$f$在$x_0$处连续，即对任意$\epsilon > 0$，找到对应的$\delta > 0$，使得当$|x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$。
我们可以这样构造：取$\delta = \frac{1}{2\epsilon}$，再找一个固定点$z$满足$|z - x_0| = \frac{1}{\epsilon}$（这样的$z$显然存在，比如$z = x_0 + \frac{1}{\epsilon}$）。利用三角不等式拆分：
$$|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f(z)| + |f(z) - f(x_0)|$$
根据题设条件，$|f(z) - f(x_0)| \leq \frac{1}{|z - x_0|} = \epsilon$；当$|x - x_0| < \delta$时，$|x - z| \geq |z - x_0| - |x - x_0| > \frac{1}{\epsilon} - \frac{1}{2\epsilon} = \frac{1}{2\epsilon}$，因此$|f(x) - f(z)| \leq \frac{1}{|x - z|} < 2\epsilon$。
综上，$|f(x) - f(x_0)| < 2\epsilon + \epsilon = 3\epsilon$，由于$\epsilon$是任意正数，我们只需要把初始的$\epsilon$换成$\epsilon/3$，就能严格满足连续的定义。由$x_0$的任意性，$f$在$\mathbb{R}$上处处连续。

C) 可微 #

结论：$f$不一定可微
反例提示：我们可以构造一个连续但不可微的函数满足题设条件，比如$f(x) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$。
这个函数连续且在某些点不可微（比如导数不存在的点），同时验证它满足条件：

• 利用三角函数的差界$|\sin a - \sin b| \leq |a - b|$，可得$|f(x)-f(y)| = \frac{1}{2} \left|\sin\left(\frac{1}{1+x^2}\right) - \sin\left(\frac{1}{1+y^2}\right)\right| \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{|x^2 - y^2|}{(1+x2)(1+y^2)}$
• 进一步化简后可以证明，这个值始终小于等于$\frac{1}{|x-y|}$，因此满足题设条件，但它不可微，说明C选项不成立。

D) 在$\mathbb{R}$上非递减 #

结论：$f$不一定是非递减函数
反例提示：取$f(x) = -\frac{x}{1+x^2}$，这个函数是连续有界的，且在$\mathbb{R}$上先减后增（在$x=-1$处取极小值，$x=1$处取极大值），显然不是非递减的。
验证它满足题设条件：计算$|f(x)-f(y)|$并化简后，可以证明这个值始终小于等于$\frac{1}{|x-y|}$，因此满足条件，但它不满足非递减的性质，说明D选项不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D F