用分离变量法求解二维非齐次偏微分方程的特解

首先需要澄清一个关键细节：原方程左边是标量运算（$\nabla^2 p - gp$），但右边是矢量项$kr^{-3/2}e{3r\sqrt{g}}\hat{r}$，这会导致维度矛盾。因此我假设$p$是纯径向矢量场（即$\mathbf{p} = p(r)\hat{r}$），这样我们可以提取径向分量的标量方程来求解。

步骤1：转化为径向标量方程 #

二维矢量拉普拉斯算子作用在纯径向矢量$\mathbf{p} = p(r)\hat{r}$上时，径向分量的表达式为：
$$\nabla^2 p_r - \frac{p_r}{r^2}$$
代入原方程，得到径向分量的非齐次方程：
$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dp}{dr}\right) - \frac{p}{r^2} - gp = -kr^{-3/2}e{3r\sqrt{g}}$$
整理为标准的变系数线性ODE：
$$r^2\frac{d2p}{dr^2} + r\frac{dp}{dr} - (gr^2 + 1)p = -kr^{1/2}e{3r\sqrt{g}}$$
这是n=1阶修正贝塞尔方程的非齐次形式，对应的齐次方程解为$I_1(r\sqrt{g})$和$K_1(r\sqrt{g})$（修正贝塞尔函数）。

步骤2：用常数变易法构造特解 #

对于非齐次线性ODE$y'' + P(r)y' + Q(r)y = f(r)$，常数变易法的特解形式为$p_p(r) = u_1(r)I_1(z) + u_2(r)K_1(z)$（其中$z = r\sqrt{g}$），其中$u_1, u_2$满足以下方程组：
$$
\begin{cases}
u_1'I_1(z) + u_2'K_1(z) = 0 \
u_1'I_1'(z) + u_2'K_1'(z) = \frac{f(r)}{W(I_1,K_1)}
\end{cases}
$$

计算朗斯基行列式 #

修正贝塞尔函数的朗斯基行列式恒等式为：
$$W(I_n(z), K_n(z)) = -\frac{1}{z}$$
代入$z = r\sqrt{g}$，得：
$$W(I_1,K_1) = -\frac{1}{r\sqrt{g}}$$

求解$u_1'$和$u_2'$ #

原方程的非齐次项整理为$f(r) = -kr^{-3/2}e{3z}$，代入方程组第二个方程：
$$u_1'I_1'(z) + u_2'K_1'(z) = \frac{-kr^{-3/2}e{3z}}{-1/(r\sqrt{g})} = k\sqrt{g}r^{-1/2}e{3z}$$

结合第一个方程$u_2' = -u_1'\frac{I_1(z)}{K_1(z)}$，代入化简后利用修正贝塞尔函数的恒等式$I_0(z)K_1(z) + I_1(z)K_0(z) = \frac{1}{z}$，最终得到：
$$
\begin{align*}
u_1' &= kg r^{1/2}e{3z}K_1(z) \
u_2' &= -kg r^{1/2}e{3z}I_1(z)
\end{align*}
$$

积分得到特解 #

将$u_1', u_2'$积分后代入特解形式，替换$z = r\sqrt{g}$（$dr = \frac{dz}{\sqrt{g}}$），最终得到特解：
$$
p_p(r) = kg^{1/4}\left[ I_1(z)\int z^{1/2}e{3z}K_1(z)dz - K_1(z)\int z^{1/2}e{3z}I_1(z)dz \right]
$$

补充：如果$p$是标量场（方程笔误） #

如果原方程右边是标量（即去掉$\hat{r}$），则方程为标量亥姆霍兹方程：
$$\nabla^2 p - gp = -kr^{-3/2}e{3r\sqrt{g}}$$
此时假设特解为径向对称函数$p_p(r)$，转化为n=0阶修正贝塞尔方程的非齐次形式，用同样的常数变易法可得到特解：
$$
p_p(r) = kg^{1/4}\left[ I_0(z)\int z^{1/2}e{3z}K_0(z)dz - K_0(z)\int z^{1/2}e{3z}I_0(z)dz \right]
$$

这些积分一般没有初等函数表达式，可根据具体需求用特殊函数展开或渐近近似处理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CheChe