请求提供非Banach赋范空间的无界$w^*-$紧子集示例

没问题，我来给你构造一个完全符合要求的例子，顺便把背后的逻辑拆解清楚：

我们需要先找一个不完备的赋范空间（非Banach空间），再在它的对偶空间里构造出满足要求的w*-紧子集。

1. 定义非Banach空间Y #

咱们取Y为所有实系数多项式构成的空间，给它装备[0,1]上的一致范数（sup范数）：
对于任意多项式 ( p(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_kx^k )，它的范数定义为：
[
|p| = \sup_{x \in [0,1]} |p(x)|
]
这个空间Y是非Banach的——因为它的完备化是[0,1]上的连续函数空间C[0,1]（标准Banach空间），而Y只是C[0,1]的稠密真子空间，本身并不完备。

2. 分析Y的对偶空间Y* #

根据泛函分析的基本结论，Y上的每个有界线性泛函都可以唯一延拓到C[0,1]上（毕竟Y在C[0,1]里稠密），所以Y*等距同构于C[0,1]的对偶空间——也就是[0,1]上的有界变差测度空间M[0,1]。不过咱们不用纠结这个同构，直接构造Y上的泛函就行。

3. 构造w*-紧但范数无界的子集G #

对于每个正整数n，我们定义一个泛函 ( f_n \in Y^* )：
[
f_n(p) = p^{(n)}(0)
]
这里 ( p^{(n)}(0) ) 指的是多项式p在x=0处的n阶导数。然后把零泛函也加进来，得到集合：
[
G = { f_n \mid n \in \mathbb{N} } \cup { 0 }
]

验证G的范数无界性 #

对于每个n，咱们取多项式 ( p_n(x) = x^n )，显然它的范数 ( |p_n| = \sup_{x \in [0,1]} |x^n| = 1 )，而 ( f_n(p_n) = n! )。根据对偶范数的定义：
[
|f_n| = \sup_{|p| \leq 1} |f_n(p)| \geq |f_n(p_n)| = n!
]
当n趋向无穷时，n!会趋向无穷，所以G里的元素范数是无界的。

验证G是w*-紧的 #

w*-拓扑在Y上的收敛本质是逐点收敛：也就是说，对于Y里的一个网 ( { f_\alpha } )，如果对每个多项式p∈Y，都有 ( f_\alpha(p) \to f(p) )，那这个网就w*-收敛到f。

现在看G里的任意一个网：

• 如果网里只有有限个不同的元素，那显然存在收敛子网（就是它自己）；
• 如果网里包含无穷多个 ( f_n )，那么对于任意固定的多项式p，它的次数是m——当n>m时，p的n阶导数肯定是0，所以 ( f_n(p) = 0 )。这意味着这个网里所有下标n>m的 ( f_n ) 在p上的取值都是0，因此子网会w*-收敛到零泛函0（而0正好在G里）。

根据紧性的定义（每个网都有收敛到集合内元素的子网），G是w*-紧的。

总结 #

我们构造的非Banach空间Y是[0,1]上的多项式空间（装备一致范数），它的对偶空间Y*中的子集G={( f_n )}∪{0}完美满足要求：

• G是w*-紧的；
• G在对偶范数下无界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John D