二元二次型表示正整数后续问询：OEIS A031363素数指数规则求证

咱们一步一步来拆解这个证明，结合昨天已经确认的结论——$x^2+xy-y2$和$5x^2-y2$表示的正整数集合完全相等，我们从二次型的数论性质入手推导：

1. 先分析单个素数的表示情况 #

首先，我们先看不同素数能否被目标二次型表示，这是后续推广到所有正整数的基础：

• 素数5：直接验证就能发现，$5 = 2^2+2*1-12=4+2-1=5$，所以5本身就在序列里，而且它的任意次幂都能被表示（比如$5²⁼⁵2+5*0-0^2=25$）。
• 素数p≡1或4 mod5：根据二次互反律，$(5/p)=(p/5)$（因为5≡1 mod4，互反律符号不变），而1和4都是模5的二次剩余，所以5是模p的二次剩余，也就是说存在整数a使得$a^2≡5 mod p$。这时候可以构造出p的表示：比如通过调整x和y的取值，最终能得到$p=5x^2-y2$（或对应到$x^2+xy-y2$的形式），所以这类素数的任意次幂都能被表示（因为二次型表示的数在乘法下封闭，后面会提到）。
• 素数q≡2或3 mod5：同样用二次互反律，$(5/q)=(q/5)=-1$，说明5不是模q的二次剩余。假设q能被表示为$5x^2-y2$，那么$y^2≡5x2 mod q$：如果x不被q整除，那么$(y/x)^2≡5 mod q$，这和5不是模q的二次剩余矛盾；如果x被q整除，那么y也必须被q整除，代入后左边是q²的倍数，右边是q，显然矛盾。所以q本身不能被表示，但q²可以：比如q=2时，$2^2=4=5*12 -1^{2=5-1=4$；q=3时，$3}2=9=3^2+3*3-32=9$，都能找到对应的整数解。进一步，q的偶次幂$(q^k)2$都能被表示，而奇次幂则不行（因为奇次幂可以拆成q乘以q的偶次幂，q不能被表示，乘积自然也无法被表示）。

2. 利用乘法封闭性推广到所有正整数 #

二次型$x^2+xy-y2$（或等价的$5x^2-y2$）有个关键性质：表示的数在乘法下封闭。也就是说，如果a和b都能被表示，那么它们的乘积ab也能被表示。比如对$5x^2-y2$来说，有恒等式：

(5a² - b²)(5c² - d²) = 5(ac + bd)² - (ad + 5bc)²

这个恒等式直接证明了乘积的可表示性。

现在，对任意正整数n，把它做素因子分解：
$$n = 5^k \prod_{p≡1,4 mod5} p^m \prod_{q≡2,3 mod5} q^r$$
根据前面的分析：

• $5^k$的任意次幂都能被表示；
• 每个$p^m$（p≡1或4 mod5）的任意次幂都能被表示；
• 每个$q^r$（q≡2或3 mod5）只有当r为偶数时才能被表示，奇数时不行。

所以，当且仅当所有q≡2或3 mod5的素数指数r都是偶数时，n可以分解为多个可表示数的乘积，进而n本身也能被表示。

3. 反向验证：满足条件的数都能被表示 #

反过来，如果n的素因子分解中，所有模5余2或3的素数指数都是偶数，那么n可以写成：
$$n = 5^k \cdot \left(\prod p^m\right) \cdot \left(\prod q^s\right)2$$
其中每个部分（$5^k$、$\prod p^m$、$\prod q^s$的平方）都能被表示，再利用乘法封闭性，n自然也能被目标二次型表示。

这样就完整证明了：OEIS A031363中的序列恰好是所有模5余2或3的素数指数为偶数的正整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者saulspatz