证明度量空间(X=(0,∞),d₁)与(X,d₂)生成相同拓扑的技术问题

首先咱们明确核心思路：两个度量生成相同拓扑的充要条件是每个度量下的任意开球，都能被另一个度量下的某个开球完全包含，也就是要证$\tau_1 \subset \tau_2$且$\tau_2 \subset \tau_1$。你已经找对了关键的开球形式，接下来咱们把两个方向的证明补全：

第一步：明确两个度量的开球表达式 #

• 对于度量$d_1(x,y)=|x-y|$，中心为$x$、半径$\epsilon$的开球是：
  B_{d_1}(x,\epsilon) = (x-\epsilon, x+\epsilon) \cap (0,\infty)
  （因为空间$X=(0,\infty)$，所以如果$x-\epsilon \leq 0$，开球就退化为$(0, x+\epsilon)$）
• 对于度量$d_2(x,y)=|\ln x - \ln y|$，对应的开球推导很直接：由$|\ln x - \ln y| < \delta$等价于$e^{-\delta} < \frac{y}{x} < e^{\delta}$，所以开球是：
  B_{d_2}(x,\delta) = (x e^{-\delta}, x e^{\delta})

第二步：证明$\tau_1 \subset \tau_2$ #

我们需要证明：对任意$x \in X$，任意$\epsilon > 0$，总能找到$\delta > 0$，使得B_{d_2}(x,\delta) \subset B_{d_1}(x,\epsilon)

分两种情况讨论：

1. 当$x > \epsilon$时：
   我们需要让B_{d_2}(x,\delta)的左右边界都落在B_{d_1}(x,\epsilon)内：
   • 右边界：$x e^{\delta} < x + \epsilon$ → $e^{\delta} < 1 + \frac{\epsilon}{x}$ → $\delta < \ln\left(1 + \frac{\epsilon}{x}\right)$
   • 左边界：$x e^{-\delta} > x - \epsilon$ → $e^{-\delta} > 1 - \frac{\epsilon}{x}$ → $\delta < -\ln\left(1 - \frac{\epsilon}{x}\right)$
     取$\delta = \min\left{ \ln\left(1 + \frac{\epsilon}{x}\right), -\ln\left(1 - \frac{\epsilon}{x}\right) \right}$，就能保证B_{d_2}(x,\delta)完全包含在B_{d_1}(x,\epsilon)里。
2. 当$x \leq \epsilon$时：
   此时B_{d_1}(x,\epsilon)的左边界是0，只要保证B_{d_2}(x,\delta)的右边界不超过$x+\epsilon$，同时左边界大于0即可。取$\delta = \ln\left(1 + \frac{\epsilon}{x}\right)$，此时$x e^{\delta} = x\left(1 + \frac{\epsilon}{x}\right) = x+\epsilon$，而$x e^{-\delta} = \frac{x}{1 + \frac{\epsilon}{x}} = \frac{x^2}{x+\epsilon} > 0$，完全满足要求。

这就说明$\tau_1$中的每个开集都能被$\tau_2$的开集覆盖，即$\tau_1 \subset \tau_2$。

第三步：证明$\tau_2 \subset \tau_1$ #

反过来，我们要证明：对任意$x \in X$，任意$\delta > 0$，总能找到$\epsilon > 0$，使得B_{d_1}(x,\epsilon) \subset B_{d_2}(x,\delta)

计算B_{d_2}(x,\delta)与$x$的左右距离：

• 左距离：$x - x e^{-\delta} = x(1 - e^{-\delta})$
• 右距离：$x e^{\delta} - x = x(e^{\delta} - 1)$

取$\epsilon = \min\left{ x(1 - e^{-\delta}), x(e^{\delta} - 1) \right}$，此时：

• $x - \epsilon \geq x - x(1 - e^{-\delta}) = x e^{-\delta}$
• $x + \epsilon \leq x + x(e^{\delta} - 1) = x e^{\delta}$

显然$\epsilon > 0$（因为$\delta > 0$时，$1 - e^{-\delta} > 0$，$e^{\delta} - 1 > 0$），所以B_{d_1}(x,\epsilon)完全包含在B_{d_2}(x,\delta)里，即$\tau_2 \subset \tau_1$。

结论 #

因为$\tau_1 \subset \tau_2$且$\tau_2 \subset \tau_1$，所以两个度量生成的拓扑$\tau_1 = \tau_2$，也就是它们生成相同的拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AYARcom