在约束条件x²+y²=1下，求(3x+2y)²+(x+2y)²的最值

AI 小北

2026-5-19

求解约束条件下的表达式最值问题

已知实数(x)、(y)满足(x^2 + y^2 = 1)，要求((3x+2y)^2 + (x+2y)^2)的最值，我整理了几种常用的解法，一步步给你讲清楚：

解法一：三角代换法

这是最直观的入门解法，利用单位圆的参数方程转化问题：

因为(x^2 + y^2 = 1)，我们可以令(x = \cos\theta)，(y = \sin\theta)（(\theta \in [0, 2\pi))），换成(x = \sin\theta)、(y = \cos\theta)也完全没问题，不影响结果。

把参数代入目标表达式：

(3cosθ + 2sinθ)^2 + (cosθ + 2sinθ)^2

展开并化简：

= 9cos²θ + 12sinθcosθ + 4sin²θ + cos²θ + 4sinθcosθ + 4sin²θ
= 10cos²θ + 16sinθcosθ + 8sin²θ

利用三角恒等式进一步转化：
- (\cos²θ = \frac{1+\cos2θ}{2})，(\sin²θ = \frac{1-\cos2θ}{2})，(\sinθcosθ = \frac{\sin2θ}{2})
- 代入后得到：
```
= 10*(1+cos2θ)/2 + 16*(sin2θ)/2 + 8*(1-cos2θ)/2
= 5(1+cos2θ) + 8sin2θ + 4(1-cos2θ)
= 9 + cos2θ + 8sin2θ
```
最后用辅助角公式，把(\cos2θ + 8sin2θ)写成(A\sin(2θ + \varphi))的形式，其中(A = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{65})，这部分的取值范围是([-\sqrt{65}, \sqrt{65}])。
因此，原表达式的最大值为(9 + \sqrt{65})，最小值为(9 - \sqrt{65})。

如果学过多元函数条件极值，这个方法很直接：

构造拉格朗日函数：
```
L = (3x+2y)^2 + (x+2y)^2 + λ(1 - x² - y²)
```
其中(\lambda)是拉格朗日乘数。
分别对(x)、(y)、(\lambda)求偏导，并令偏导数为0：
1. (\frac{\partial L}{\partial x} = 2(3x+2y)*3 + 2(x+2y)*1 - 2λx = 0)，化简得：((10 - λ)x + 8y = 0)
2. (\frac{\partial L}{\partial y} = 2(3x+2y)*2 + 2(x+2y)*2 - 2λy = 0)，化简得：(8x + (8 - λ)y = 0)
3. (\frac{\partial L}{\partial λ} = 1 - x² - y² = 0)，也就是约束条件本身。
前两个方程是齐次线性方程组，要有非零解（因为(x²+y²=1)，(x)、(y)不同时为0），系数行列式必须为0：
```
|10 - λ   8     |
|8        8 - λ | = 0
```
计算行列式：((10 - λ)(8 - λ) - 64 = 0) → (λ² - 18λ + 16 = 0)
解这个二次方程，得到(λ = 9 ± \sqrt{65})，这个(λ)的值就是目标表达式的极值，所以最大值是(9 + \sqrt{65})，最小值是(9 - \sqrt{65})。

把二元问题转化为一元函数求极值：

先展开目标表达式：

(3x+2y)^2 + (x+2y)^2 = 10x² + 16xy + 8y²

利用约束条件(y² = 1 - x²)，代入上式得：
```
10x² + 16xy + 8(1 - x²) = 2x² + 8 + 16xy
```
把(y)表示为(y = ±\sqrt{1 - x²})（(x∈[-1,1])），分两种情况讨论：
1. 当(y = \sqrt{1 - x²})时，目标函数为(f(x) = 2x² + 8 + 16x\sqrt{1 - x²})
2. 当(y = -\sqrt{1 - x²})时，目标函数为(f(x) = 2x² + 8 - 16x\sqrt{1 - x²})

对(f(x))求导（以第一种情况为例）：

f’(x) = 4x + 16\left[\sqrt{1 - x²} - \frac{x²}{\sqrt{1 - x²}}\right]
= 4x + \frac{16(1 - 2x²)}{\sqrt{1 - x²}}

从线性代数的角度看，目标表达式是一个二次型：

把表达式写成矩阵形式：(f(x,y) = [x\ y] \begin{bmatrix}10 & 8 \ 8 & 8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix})
约束条件(x² + y² = 1)意味着向量((x,y))的模长为1，此时二次型的最值就是对应矩阵的最大、最小特征值。
计算矩阵(\begin{bmatrix}10 & 8 \ 8 & 8\end{bmatrix})的特征值，解特征方程(|A - λI|=0)，得到的方程和拉格朗日乘数法中一致：
```
λ²-18λ+16=0
```
解得特征值(λ=9±\sqrt{65})，所以最大值为(9+\sqrt{65})，最小值为(9-\sqrt{65})。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zxcvber