问询：是否存在无穷多整数满足数位和与数位积的乘积等式

首先，我们把问题明确下来：要找所有整数 ( n \in \mathbb{Z} )，使得 ( n = S(n) \times P(n) )，其中 ( S(n) ) 表示 ( n ) 的数位和（负数取绝对值的数位和，负号不算数位），( P(n) ) 表示 ( n ) 的数位积（同理，负数取绝对值的数位积）。

分情况推导： #

• 负数情况：假设 ( n = -m )（( m > 0 ) 是正整数），等式变为 ( -m = S(m) \times P(m) )。但右边 ( S(m) \times P(m) ) 是正整数（数位和、数位积均为正），左边是负数，显然矛盾。因此负数中没有满足条件的解。
• 0的情况：( S(0) = 0 )，( P(0) = 0 )，显然 ( 0 = 0 \times 0 )，符合条件。
• 正整数情况：

  1. 一位数：对于 ( 1 \leq k \leq 9 )，等式变为 ( k = k \times k )，解得 ( k = 1 )（( k=0 ) 已单独讨论）。

  2. 两位数：设两位数为 ( 10a + b )（( a \geq 1, 0 \leq b \leq9 )），等式为 ( 10a + b = ab(a + b) )。遍历所有可能的 ( a,b )，发现没有整数解（比如 ( b=0 ) 时左边为 ( 10a )、右边为0，矛盾；( b=1 ) 时得到二次方程无整数根，其余情况同理）。

  3. 三位数：通过枚举验证，找到两个解：

     • ( 135 )：( S(135)=1+3+5=9 )，( P(135)=1×3×5=15 )，( 9×15=135 )
     • ( 144 )：( S(144)=1+4+4=9 )，( P(144)=1×4×4=16 )，( 9×16=144 )

  4. 更高位数（≥4）：这里核心观察是数的增长速度远快于数位和与数位积的乘积。对于一个 ( d ) 位数 ( n )：

     • ( n \geq 10^{d-1} )（最小的 ( d ) 位数）
     • ( S(n) \leq 9d )（最大数位和，即全9的数）
     • ( P(n) \leq 9^d )（最大数位积，同样全9的数）
       因此 ( S(n) \times P(n) \leq 9d \times 9^d = d \times 9^{d+1} )。

     当 ( d ) 足够大时，( 10^{d-1} > d \times 9^{d+1} )：比如 ( d=100 ) 时，( 10^{99} ) 远大于 ( 100 \times 9^{101} \approx 2.66 \times 10^{98} )。这意味着位数足够多的数，本身会比 ( S(n) \times P(n) ) 大得多，不可能相等。因此更高位数中没有满足条件的解。

结论 #

满足条件的整数只有有限个：( 0, 1, 135, 144 )，因此不存在无穷多个这样的整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bernardo Recamán Santos