平方欧氏距离为何是非度量函数？与欧氏距离有何差异？

嘿，咱们一步步理清楚平方欧氏距离和普通欧氏距离的区别，以及为啥前者会被归为非度量函数～

• 数学表达式差异

  • 对于n维空间中的两点 (x=(x_1,x_2,...,x_n)) 和 (y=(y_1,y_2,...,y_n))，欧氏距离的计算是：
    d(x,y) = sqrt(Σ(x_i - y_i)²)
  • 平方欧氏距离则直接省略了平方根运算，公式为：
    d²(x,y) = Σ(x_i - y_i)²

• 数值与单位特性

  • 欧氏距离的结果和原始数据的单位一致（比如数据单位是米，距离结果也是米），数值大小直观反映两点间的实际空间距离。
  • 平方欧氏距离的单位是原始单位的平方（比如平方米），数值上会比对应的欧氏距离大（除了距离为0或1的情况）。

• 排序一致性

  • 就像你在书里看到的，这两个函数对样本间的距离排序是完全一致的。因为平方根是严格单调递增的函数，所以如果d²(x,y) > d²(a,b)，必然有d(x,y) > d(a,b)，反过来也成立。这也是很多算法（比如K-means聚类）会用平方欧氏距离代替欧氏距离的原因——计算更快（不用开根号），而且完全不影响结果的相对排序，而这正是算法需要的核心信息。

一个函数要被称为度量函数，必须满足四个核心公理：

1. 非负性：(D(x,y) ≥ 0)，且当且仅当(x=y)时，(D(x,y)=0)
2. 同一性：(D(x,x)=0)
3. 对称性：(D(x,y)=D(y,x))
4. 三角不等式：对任意三点(x,y,z)，都满足(D(x,z) ≤ D(x,y) + D(y,z))

平方欧氏距离轻松满足前三个公理：

• 平方运算保证了非负性，只有两点完全相同时结果才为0；交换两点顺序，计算结果也不会变，满足对称性。

它的问题出在三角不等式上，咱们用一个简单的一维例子就能看明白：

• 设三个点分别为 (x=0)，(y=0.5)，(z=1)
• 计算平方欧氏距离：
  • (D(x,y) = (0-0.5)² = 0.25)
  • (D(y,z) = (0.5-1)² = 0.25)
  • (D(x,z) = (0-1)² = 1)
• 现在验证三角不等式：(D(x,z) ≤ D(x,y) + D(y,z)) → (1 ≤ 0.25 + 0.25) → (1 ≤ 0.5)，显然不成立！

因为平方欧氏距离不满足度量函数要求的三角不等式，所以它被归类为非度量函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者raikumardipak