如何计算将线段旋转至连接两点的旋转轴与角度？

嘿，这个问题其实是3D旋转里的典型场景，咱们用向量几何就能一步步推出来，我给你理清楚每一步：

首先把所有点用向量形式表示，方便后续计算：

• 设给定的两个目标点为 $P_1 = [x_1,y_1,z_1]$ 和 $P_2 = [x_2,y_2,z_2]$
• 计算两点的中点 $M$：$M = \frac{P_1 + P_2}{2}$ —— 这也是咱们要旋转的线段的固定中点
• 初始线段的参数：长度等于两点间距离 $d = ||P_2 - P_1||$，初始沿y轴，所以它的两个端点可以表示为 $A_0 = M + [0, d/2, 0]$ 和 $B_0 = M - [0, d/2, 0]$
• 我们的目标：把 $A_0$ 旋转到 $P_1$，$B_0$ 旋转到 $P_2$（反过来也一样，结果对称）

3D旋转的核心性质是：旋转轴必须过不动点（这里就是中点M），且垂直于旋转前后的方向向量。

先提取两个关键向量：

• 初始方向向量（从中点指向初始端点）：$\vec{v_0} = A_0 - M = [0, d/2, 0]$
• 目标方向向量（从中点指向目标端点）：$\vec{v_1} = P_1 - M = \frac{P_1 - P_2}{2}$（它的长度也是 $d/2$，和 $\vec{v_0}$ 相等）

旋转轴的方向向量就是这两个向量的叉乘——叉乘的结果天然垂直于两个原向量，完美符合旋转轴的要求：
$$\vec{axis} = \vec{v_0} \times \vec{v_1}$$

如果 $\vec{axis}$ 是零向量，说明 $\vec{v_0}$ 和 $\vec{v_1}$ 方向相同或相反：

• 方向相同：不需要旋转（角度为0）
• 方向相反：绕任意垂直于y轴且过M的轴旋转180度即可

最后把 $\vec{axis}$ 单位化，得到单位轴向量 $\hat{axis} = \frac{\vec{axis}}{||\vec{axis}||}$，旋转轴就是过M点、沿 $\hat{axis}$ 方向的直线。

旋转角度就是 $\vec{v_0}$ 和 $\vec{v_1}$ 之间的夹角，用点积公式就能直接计算：
$$\cos\theta = \frac{\vec{v_0} \cdot \vec{v_1}}{||\vec{v_0}|| \cdot ||\vec{v_1}||}$$

因为 $||\vec{v_0}|| = ||\vec{v_1}|| = d/2$，代入后可以简化计算：
$$\cos\theta = \frac{2(y_1 - y_2)}{d}$$
（这里 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$）

角度的正负可以用右手定则判断：右手握住旋转轴，四指从 $\vec{v_0}$ 指向 $\vec{v_1}$，大拇指指向就是 $\hat{axis}$ 的方向，此时角度为正；反之则为负。

• 如果两点连线本身沿y轴：这时候 $\vec{v_0}$ 和 $\vec{v_1}$ 共线，叉乘为零向量，要么不用转（角度0），要么绕任意垂直于y轴的轴转180度
• 如果两点连线垂直于y轴：此时 $\vec{v_0} \cdot \vec{v_1} = 0$，$\cos\theta=0$，旋转角度为90度或270度，旋转轴就是叉乘得到的方向

• 第一步：算中点 $M = (P_1 + P_2)/2$，算两点距离 $d = ||P_2-P_1||$
• 第二步：生成 $\vec{v_0} = [0, d/2, 0]$，$\vec{v_1} = P_1 - M$
• 第三步：计算旋转轴方向 $\vec{axis} = \vec{v_0} \times \vec{v_1}$，单位化后得到旋转轴（过M）
• 第四步：用点积公式算出旋转角度 $\theta = \arccos(\frac{\vec{v_0} \cdot \vec{v_1}}{(d/2)^2})$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者currenthandle