如何用换元法与分部积分法证明：由给定积分条件推得g(0)=3

Hey，我来帮你一步步拆解这个证明过程，核心就是两次运用分部积分法，咱们慢慢捋：

先看等式里的(\int_{0}^{2\pi}g''(x)\sin(x),dx)，用分部积分公式(\int u , dv = uv\big|{a}^{b} - \int{a}^{b} v , du)：

• 令(u = \sin(x))，(dv = g''(x)dx)
• 那么(du = \cos(x)dx)，(v = g'(x))（因为(g''(x))的原函数是(g'(x))）

代入公式后得到：

∫₀²π g''(x)sin(x)dx = [sin(x)·g'(x)]₀²π - ∫₀²π g'(x)cos(x)dx

计算边界项([sin(x)·g'(x)]₀²π)：因为(\sin(0)=0)，(\sin(2π)=0)，所以这一项直接等于(0 - 0 = 0)。此时式子简化为：

∫₀²π g''(x)sin(x)dx = -∫₀²π g'(x)cos(x)dx

现在处理上一步得到的(-\int_{0}^{2\pi}g'(x)\cos(x),dx)，再次用分部积分：

• 令(u = \cos(x))，(dv = g'(x)dx)
• 那么(du = -\sin(x)dx)，(v = g(x))

代入分部积分公式：

∫₀²π g'(x)cos(x)dx = [cos(x)·g(x)]₀²π - ∫₀²π g(x)·(-sin(x))dx

整理右边的式子：

= [cos(2π)g(2π) - cos(0)g(0)] + ∫₀²π g(x)sin(x)dx

把这个结果代回第一次分部积分后的式子，得到：

∫₀²π g''(x)sin(x)dx = -[cos(2π)g(2π) - cos(0)g(0)] - ∫₀²π g(x)sin(x)dx

现在把上面的结果代入题目给出的原等式：

∫_{0}^{2\pi}g(x)\sin(x)\,dx + ∫_{0}^{2\pi}g''(x)\sin(x)\,dx = 2

替换后左边变成：

∫₀²π g(x)sin(x)dx - [cos(2π)g(2π) - cos(0)g(0)] - ∫₀²π g(x)sin(x)dx = 2

你会发现两个(\int_{0}^{2\pi}g(x)\sin(x),dx)项直接抵消了，剩下：

- cos(2π)g(2π) + cos(0)g(0) = 2

现在代入已知条件：(\cos(2π)=1)，(\cos(0)=1)，(g(2π)=1)：

-1×1 + 1×g(0) = 2

解这个方程就能得到：

g(0) = 2 + 1 = 3

这样就完成了证明啦！核心就是通过两次分部积分，把二阶导数的积分转化为(g(x))在边界点的取值，再利用已知条件求解即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者winonator