为何独立同分布标准正态变量X/Y与X/|Y|同分布？

嘿，这个问题的核心其实藏在标准正态分布的对称性里，我给你一步步拆解清楚，保证能帮你捋明白：

首先明确已知条件：$X,Y$是独立的标准正态随机变量（$X,Y\sim\mathcal{N}(0,1)$），判断两个随机变量同分布的关键是——对任意实数$t$，它们的分布函数完全相等，也就是题目里给出的$\mathbb{P}(\frac{X}{Y}\le t)=\mathbb{P}(\frac{X}{|Y|}\le t)$，我们就从这个等式入手证明。

步骤1：拆分$\mathbb{P}(\frac{X}{Y}\le t)$的概率区间 #

因为$Y$是连续随机变量，$\mathbb{P}(Y=0)=0$，所以我们可以把事件拆分为$Y>0$和$Y<0$两个互斥的情况：
$$
\mathbb{P}\left(\frac{X}{Y}\le t\right) = \mathbb{P}\left(\frac{X}{Y}\le t, Y>0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{X}{Y}\le t, Y<0\right)
$$

• 当$Y>0$时，不等式两边乘正数$Y$，不等号方向不变，得到$\mathbb{P}(X \le tY, Y>0)$；
• 当$Y<0$时，不等式两边乘负数$Y$，不等号方向反转，得到$\mathbb{P}(X \ge tY, Y<0)$。

步骤2：利用正态对称性替换变量 #

标准正态分布关于原点对称，所以$Y$和$-Y$是同分布的；同时因为$X$和$Y$独立，$X$和$-Y$也保持独立。我们对第二项$\mathbb{P}(X \ge tY, Y<0)$做变量替换：令$Z=-Y$，则$Z>0$且$Z\sim\mathcal{N}(0,1)$，代入后得到：
$$
\mathbb{P}(X \ge tY, Y<0) = \mathbb{P}(X \ge -tZ, Z>0) = \mathbb{P}(X \ge -tY, Y>0)
$$
（最后一步是因为$Z$和$Y$同分布，可以直接替换回$Y$）

步骤3：结合$|Y|$的性质对比分布函数 #

现在看$\mathbb{P}\left(\frac{X}{|Y|}\le t\right)$：因为$|Y|$恒非负且$\mathbb{P}(|Y|=0)=0$，不等式两边乘$|Y|$后不等号方向不变，拆分$Y>0$和$Y<0$的情况：
$$
\mathbb{P}\left(\frac{X}{|Y|}\le t\right) = \mathbb{P}(X \le t|Y|) = \mathbb{P}(X \le tY, Y>0) + \mathbb{P}(X \le -tY, Y<0)
$$
再结合$X$的对称性（$X$和$-X$同分布），$\mathbb{P}(X \ge -tY) = \mathbb{P}(-X \ge -tY) = \mathbb{P}(X \le tY)$，所以$\mathbb{P}(X \ge -tY, Y>0) = \mathbb{P}(X \le t|Y|, Y<0)$。

把这个结论代回$\mathbb{P}\left(\frac{X}{Y}\le t\right)$的表达式，会发现它和$\mathbb{P}\left(\frac{X}{|Y|}\le t\right)$完全相等——不管$t$是正数还是负数，这个等式都成立。

总结 #

通过拆分概率区间、利用标准正态分布的对称性（$Y$与$-Y$同分布、$X$与$-X$同分布）以及随机变量的独立性，我们证明了$\frac{X}{Y}$和$\frac{X}{|Y|}$的分布函数对任意实数$t$都一致，因此这两个随机变量是同分布的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Supreeth Narasimhaswamy