狄拉克δ分布δ(x+y)的严格定义及积分形式合理性验证

首先回顾一维狄拉克δ分布的核心定义：对于映射$x\mapsto \delta(x)$，它是Schwartz空间上的线性连续泛函，满足
$$\langle \delta, f \rangle = f(0) $$
对所有$f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$成立。

现在问题来了：那映射$(x,y)\mapsto \delta(x+y)$对应的二维分布$T$，正确定义是什么？它是否满足对任意$g\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$，有
$$\langle T, g \rangle = \int_\mathbb{R} g(x,-x) d x \ ?$$

推导思路与结论 #

咱们先从分布的本质出发——分布是Schwartz空间到实数（或复数）的线性连续泛函，不能直接当作普通函数处理，但可以用「变量替换+一维δ分布的定义」来推导它的配对规则：

1. 形式化积分入手（帮助理解）
   如果我们形式上把$\delta(x+y)$当作普通函数，那么分布$T$和$g$的配对可以写成二重积分：
   $$\langle T, g \rangle = \iint_{\mathbb{R}^2} \delta(x+y) g(x,y) dx dy$$
   做变量替换：令$u = x + y$，$v = x$（即$y = u - v$），计算雅可比行列式：
   $$\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & -1\end{pmatrix} = -1$$
   绝对值为1，积分可改写为：
   $$\int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} \delta(u) g(v, u - v) du \right) dv$$
   根据一维δ分布的定义，内层积分直接等于$g(v, 0 - v) = g(v, -v)$，所以整个积分简化为：
   $$\int_{\mathbb{R}} g(v, -v) dv = \int_{\mathbb{R}} g(x, -x) dx$$

2. 严格的分布定义
   刚才的形式化推导对应了分布论中拉回分布的概念：考虑光滑映射$\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$，$\phi(x,y)=x+y$，那么$T$就是一维δ分布$\delta$通过$\phi$拉回得到的分布。严格来说，$T$的定义就是满足：
   $$\langle T, g \rangle = \int_{\mathbb{R}} g(x, -x) dx$$
   对所有$g\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$成立。

我们还可以验证这个泛函是合法的分布：

• 线性：积分是线性操作，显然满足$\langle T, a g_1 + b g_2 \rangle = a\langle T, g_1 \rangle + b\langle T, g_2 \rangle$；
• 连续性：如果$\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$中的序列$g_n$趋于0（即$g_n$及其各阶导数都快速衰减到0），那么$g_n(x,-x)$及其导数也会快速衰减，对应的积分$\int_{\mathbb{R}} g_n(x,-x) dx$也会趋于0，满足连续性要求。

最终结论 #

• 分布$T=\delta(x+y)$的正确定义是：作为$\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$上的线性连续泛函，对任意$g\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$，$\langle T, g \rangle = \int_{\mathbb{R}} g(x, -x) dx$；
• 你提出的那个等式是成立的，完全符合分布的定义和推导结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Netchaiev