请求证明伯努利试验序列的两个概率结论：存在n使Xₙ=1及无穷次Xₙ=1的概率为1

我明白这个问题确实有点绕，尤其是涉及到无穷次试验和条件概率的约束，咱们一步步拆解来证明这两个结论。

结论一：$\boldsymbol{\Pr{X_n=1 \text{ 存在某个} n }= 1}$ #

我们可以从对立事件入手分析：

原事件的对立事件是「所有$X_n$都取0，也就是永远没有1发生」

根据条件概率的乘法公式，前n次试验全为0的概率可以展开为：
$$
\Pr{X_1=0,X_2=0,\dots,X_n=0} = \Pr{X_1=0} \cdot \Pr{X_2=0|X_1=0} \cdot \dots \cdot \Pr{X_n=0|X_1,\dots,X_{n-1}=0}
$$

根据题设条件，对任意正整数k，$\Pr{X_k=1|X_1,\dots,X_{k-1}} \geq \alpha > 0$，因此对应的补概率满足：
$$
\Pr{X_k=0|X_1,\dots,X_{k-1}} \leq 1-\alpha
$$

把这个不等式代入上面的乘积，可得：
$$
\Pr{X_1=0,\dots,X_n=0} \leq (1-\alpha)^n
$$

当n趋向于无穷大时，因为$0 < 1-\alpha < 1$，所以$(1-\alpha)^n$会趋近于0。因此：
$$
\Pr{所有X_n=0} = \lim_{n \to \infty} \Pr{X_1到X_n全为0} \leq \lim_{n \to \infty} (1-\alpha)^n = 0
$$

由于概率是非负的，所以「永远没有1发生」的概率就是0，那么原事件「存在某个n使得$X_n=1$」的概率就是$1 - 0 = 1$，第一个结论得证。

结论二：$\boldsymbol{\Pr{X_n=1 \text{ 无穷多次发生} }= 1}$ #

同样从对立事件出发：

原事件的对立事件是「$X_n=1$仅发生有限次」，换句话说，存在某个k，从第k次开始所有$X_n$都取0。我们把这个事件记为$\bigcup_{k=1}^\infty A_k$，其中$A_k$表示「从第k次起所有$X_n$都为0」。

先计算单个$A_k$的概率：
对于任意k，$\Pr(A_k) = \lim_{m \to \infty} \Pr{X_k=0,X_{k+1}=0,\dots,X_{k+m}=0}$。用和结论一一样的逻辑，每一步的条件概率都≤$1-\alpha$，所以这个概率的上界是$(1-\alpha)^{m$乘以某个有限概率（前k-1次试验的概率），当m趋向于无穷大时，$(1-\alpha)}m$趋近于0，因此$\Pr(A_k) = 0$对任意k都成立。

根据概率的次可加性，多个事件并集的概率不超过各事件概率之和：
$$
\Pr\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) \leq \sum_{k=1}^\infty \Pr(A_k) = \sum_{k=1}^\infty 0 = 0
$$

这说明「$X_n=1$仅发生有限次」的概率为0，因此原事件「$X_n=1$无穷多次发生」的概率就是$1 - 0 = 1$，第二个结论得证。

另外补充个更进阶的思路：这里可以用推广的Borel-Cantelli引理——当$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n=1 | \mathcal{F}{n-1}) = \infty$几乎必然时，「$X_n=1$无穷多次发生」的概率为1（其中$\mathcal{F}{n-1}$是前n-1次试验生成的σ-代数）。题设中这个求和式≥$\sum_{n=1}^\infty \alpha = \infty$，所以直接就能得到结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rosa Maria Gtz.