关于方程ax+by=(a+b)z的解存在性及整数参数取值问题问询

问题1：方程 ax + by = (a+b)z 是否存在整数解？ #

当然存在！我们可以把方程稍作变形，看得更直观：

将右侧移到左侧，得到 a(x - z) + b(y - z) = 0。令 x' = x - z，y' = y - z，方程简化为 a x' + b y' = 0。

找这个简化方程的整数解非常容易：

• 取 x' = b，y' = -a，代入后左边为 a*b + b*(-a) = 0，完全满足等式。
• 对应回原变量，就是 x = z + b，y = z - a，这里的 z 可以取任意整数（比如取 z=0，就能得到一组简单解 x=b，y=-a）。

如果是极端情况 a=0 且 b=0，方程变为 0=0，所有整数 x,y,z 都是解，不过这种情况没什么挑战性就是了。

问题2：对于任意整数对 x 和 y，是否总能找到整数 a 和 b，使得方程 ax + by = (a+b)z（z∈Z）成立？ #

答案是肯定的，不管给定的 x 和 y 是什么整数，都能找到满足条件的 a,b,z。下面给你两种简单的构造思路：

思路1：允许其中一个系数为0 #

比如直接取 a=1，b=0，此时方程变为 1*x + 0*y = (1+0)z，也就是 x=z，只要取 z=x，就满足所有整数 x,y。同理，取 b=1，a=0，令 z=y 也能成立。

思路2：找非零的 a,b（如果需要的话） #

如果要求 a 和 b 都不为0，也能构造出解。比如固定 a=1，然后推导对应的 b 和 z：
把方程变形为 x + b y = (1 + b)z，我们可以取 z = y + 1，代入后整理得到：
x + b y = (1 + b)(y + 1)
展开右侧：y + 1 + b y + b
两边消去 b y，得到 x = y + 1 + b，因此 b = x - y - 1。

这时候只要 x ≠ y + 1，b 就是非零整数，代入原方程验证：
左边：1*x + (x - y - 1)*y = x + x y - y² - y
右边：(1 + x - y - 1)*(y + 1) = (x - y)(y + 1) = x y + x - y² - y
左右两边完全相等，成立。

如果刚好 x = y + 1，上面的 b=0，这时候换个构造：取 b=1，a = y - x - 1（也就是 a = -2，因为 x=y+1），同样能得到非零系数满足方程。

总之，不管 x 和 y 是什么整数，总能找到合适的 a,b,z。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者unknownMe