矩阵与内积空间中伴随映射的关联及行列式关系问询

这个问题问得特别关键！很多人第一次接触这两个“伴随映射”都会懵——名字一模一样，定义和性质却差老远，但它们在特定条件下确实能扯上关系，我来给你梳理清楚：

首先得明确你说的两个映射到底是什么：

• 你提到的行列式为det(φ)^(n-1)的伴随映射，就是线性代数里的古典伴随映射（adjugate map），记为adjφ。它的核心定义是：对n维线性空间V上的线性映射φ，adjφ是唯一满足φ∘adjφ = adjφ∘φ = det(φ)·id_V的线性映射，不管空间有没有内积，只要是有限维就能定义。
• 而行列式为detφ的伴随映射，应该是指内积空间里的伴随映射（adjoint map），记为φ*。它依赖内积：对实/复内积空间V，φ*是唯一满足⟨φ(v), w⟩ = ⟨v, φ*(w)⟩对所有v,w∈V成立的线性映射。实内积空间中它的行列式等于detφ，复空间中是detφ的共轭。

这俩的关联要分情况看：
当φ是可逆映射时，在实内积空间的标准正交基下，它们有直接的代数关系：
adjφ = det(φ)·(φ*)⁻¹
为啥？因为古典伴随有个基本性质：φ⁻¹ = (1/detφ)·adjφ，也就是adjφ = detφ·φ⁻¹；而内积空间里，可逆映射的伴随的逆等于逆的伴随，即(φ*)⁻¹ = (φ⁻¹)*，在实内积空间中(φ⁻¹)*其实就是φ⁻¹的转置矩阵对应的映射，刚好和φ*的逆对应上，代入后就得到上面的等式。
放到复内积空间里，逻辑类似，只是要把转置换成共轭转置，等式会多一层共轭，但核心还是通过逆映射把两个伴随联系起来。

你说的Greub的书里分两部分定义，确实是因为这俩的本质完全不同：

• 矩阵章节的古典伴随不依赖内积，是纯线性空间范畴里的概念，核心是和行列式、逆映射绑定，用来描述线性映射和数乘单位映射的复合关系。
• 内积空间的伴随必须依赖内积，是从对偶空间的角度出发，通过内积把线性映射转化为它的对偶映射，核心是保持内积的“对称性”。

但对固定的线性映射φ，当我们给它所在的线性空间赋予内积后，二者就不是完全割裂的了：
比如刚才说的可逆情况的等式，就是最直接的关联；再举个具体例子，如果φ是实内积空间里的正交映射（满足φ*=φ⁻¹），那代入上面的等式就能得到adjφ = det(φ)·φ，而正交映射的行列式只能是±1，所以adjφ要么等于φ，要么等于-φ，这时候两个伴随就直接挂钩了。
如果φ不可逆（detφ=0），那古典伴随adjφ依然存在（只是和φ复合后是零映射），内积伴随φ*也存在，但这时候因为没有逆映射，就没有上面的简洁等式了，二者的关联就很弱，只能各自遵循自身的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Our