两个可区分自旋1/2粒子总自旋S=1态下<S_z^(1)S_z^(2)>期望值计算

我来一步步帮你解决这个问题哈～要算出这个期望值，我们需要把总自旋表象的态转换为单粒子自旋态的直积形式，再结合密度矩阵的迹来计算，具体步骤如下：

步骤1：关联总自旋态与单粒子自旋态 #

总自旋S=1的三个三重态对应的单粒子自旋直积态为：

• $|11\rangle = |\uparrow\rangle_1 \otimes |\uparrow\rangle_2$
• $|10\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes |\downarrow\rangle_2 + |\downarrow\rangle_1 \otimes |\uparrow\rangle_2\right)$
• $|1-1\rangle = |\downarrow\rangle_1 \otimes |\downarrow\rangle_2$

其中$|\uparrow\rangle$代表自旋z分量为$+\hbar/2$的单粒子态，$|\downarrow\rangle$代表自旋z分量为$-\hbar/2$的态。

步骤2：明确期望值的计算逻辑 #

对于密度矩阵$\rho$，算符$A$的期望值定义为$\text{Tr}(\rho A)$。这里$\rho$是三个三重态的等权混合，所以我们可以把期望值拆成三个态各自期望值的平均值：
$$\langle S^{(1)}_z S^{(2)}_z\rangle = \frac{1}{3}\left(\langle 11|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|11\rangle + \langle 10|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|10\rangle + \langle 1-1|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|1-1\rangle\right)$$

步骤3：分别计算每个三重态的期望值 #

1. 计算$\langle 11|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|11\rangle$ #

单粒子自旋z分量算符的作用规则是：
$S^{(1)}_z |\uparrow\rangle_1 = \frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle_1$，$S^{(2)}_z |\uparrow\rangle_2 = \frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle_2$
所以对$|11\rangle$作用算符后：
$$S^{(1)}_z S^{(2)}_z |11\rangle = \frac{\hbar}{2} \cdot \frac{\hbar}{2} |\uparrow\rangle_1 \otimes |\uparrow\rangle_2 = \frac{\hbar^2}{4}|11\rangle$$
取内积得到这个态的期望值：
$$\langle 11|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|11\rangle = \frac{\hbar^2}{4}$$

2. 计算$\langle 10|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|10\rangle$ #

对$|10\rangle$作用算符：
$$
\begin{align*}
S^{(1)}_z S^{(2)}_z |10\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(S^{(1)}_z |\uparrow\rangle_1 \otimes S^{(2)}_z |\downarrow\rangle_2 + S^{(1)}_z |\downarrow\rangle_1 \otimes S^{(2)}_z |\uparrow\rangle_2\right) \
&= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle_1 \otimes \left(-\frac{\hbar}{2}\right)|\downarrow\rangle_2 + \left(-\frac{\hbar}{2}\right)|\downarrow\rangle_1 \otimes \frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle_2\right) \
&= -\frac{\hbar^2}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes |\downarrow\rangle_2 + |\downarrow\rangle_1 \otimes |\uparrow\rangle_2\right) \
&= -\frac{\hbar^2}{4}|10\rangle
\end{align*}
$$
取内积得到这个态的期望值：
$$\langle 10|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|10\rangle = -\frac{\hbar^2}{4}$$

3. 计算$\langle 1-1|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|1-1\rangle$ #

类似第一个情况，单粒子算符作用规则为：
$S^{(1)}_z |\downarrow\rangle_1 = -\frac{\hbar}{2}|\downarrow\rangle_1$，$S^{(2)}_z |\downarrow\rangle_2 = -\frac{\hbar}{2}|\downarrow\rangle_2$
所以：
$$S^{(1)}_z S^{(2)}_z |1-1\rangle = \left(-\frac{\hbar}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\hbar}{2}\right) |\downarrow\rangle_1 \otimes |\downarrow\rangle_2 = \frac{\hbar^2}{4}|1-1\rangle$$
取内积得到这个态的期望值：
$$\langle 1-1|S^{(1)}_z S^{(2)}_z|1-1\rangle = \frac{\hbar^2}{4}$$

步骤4：求和并取平均 #

把三个结果代入平均公式：
$$\langle S^{(1)}_z S^{(2)}_z\rangle = \frac{1}{3}\left(\frac{\hbar^2}{4} - \frac{\hbar^2}{4} + \frac{\hbar^2}{4}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\hbar^2}{4} = \frac{\hbar^2}{12}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stig