如何证明p阶收敛与依概率收敛？含高斯随机变量实例求解

首先得提个小笔误：你写的$Y_{n} = \frac 1n\sum_{j=1}^\infty X_{j}$应该是$\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j$吧？毕竟无穷项独立高斯变量的和几乎必然发散（除非期望方差全为0），修正这个前提之后我们才能继续推导~

先理清楚核心思路：高斯变量的「确定性」性质 #

不管是实直线上的高斯变量，还是更一般空间（比如Hilbert/Banach空间）上的高斯测度，高斯变量有个核心特性：它的分布完全由均值（期望）和协方差结构唯一确定。而且独立高斯变量的线性组合仍然是高斯变量，这一点是整个证明的关键。

你的困惑在于不知道怎么应对一般高斯测度，但其实不管空间是什么，证明的核心都是从「期望+协方差」入手，结合收敛的定义来做。

第一步：证明依概率收敛 #

假设每个$X_j$是i.i.d.高斯变量，记$\mu = \mathbb{E}[X_j]$（均值），$\Sigma$是它的协方差算子（实值场景下就是方差$\sigma^2$）。

1. 先算$Y_n$的期望：
   $\mathbb{E}[Y_n] = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \mathbb{E}[X_j] = \mu$，是个常数。
2. 再算$Y_n - \mu$的协方差：
   因为$X_j$独立，协方差具有可加性，所以$\text{Cov}(Y_n - \mu, Y_n - \mu) = \frac{1}{n^2}\sum_{j=1}n \text{Cov}(X_j - \mu, X_j - \mu) = \frac{\Sigma}{n}$（实值场景下就是$\frac{\sigma^2}{n}$）。
3. 用切比雪夫不等式（一般高斯变量也有类似的尾估计）：
   对任意$\epsilon > 0$，有
   $$\mathbb{P}(||Y_n - \mu|| > \epsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[||Y_n - \mu||^2]}{\epsilon2} = \frac{\text{tr}(\Sigma)}{n\epsilon^2}$$
   （实值场景下就是$\frac{\sigma^2}{n\epsilon2}$）。当$n\to\infty$时，右边显然趋于0，满足依概率收敛的定义，所以$Y_n$依概率收敛到$\mu$。

第二步：证明p阶收敛（$L^p$收敛） #

p阶收敛的定义是$\mathbb{E}[||Y_n - \mu||^p] \to 0$（$n\to\infty$），这里我们利用高斯变量的矩估计性质：

对于均值为0的高斯变量$Z$，存在只依赖于p和高斯分布的常数$C_p$，使得$\mathbb{E}[||Z||^p] \leq C_p \cdot (\mathbb{E}[||Z||^2]){p/2}$。

这里$Y_n - \mu$就是均值为0的高斯变量，而$\mathbb{E}[||Y_n - \mu||^2] = \frac{\text{tr}(\Sigma)}{n}$，代入上面的不等式得：
$$\mathbb{E}[||Y_n - \mu||^p] \leq C_p \cdot \left( \frac{\text{tr}(\Sigma)}{n} \right)^{p/2}$$
当$n\to\infty$时，右边的项趋于0，所以$\mathbb{E}[||Y_n - \mu||^p] \to 0$，即$Y_n$在$L^p$意义下收敛到$\mu$。

为啥一般高斯测度也适用？ #

其实不管空间维度如何，高斯测度的核心逻辑没变：只要能算出$Y_n$的均值是常数，且$Y_n - \mu$的协方差随着n增大趋于0，再结合高斯变量的矩和协方差的绑定关系，就能直接套用上面的证明。你之前觉得无从下手，本质是没抓住“高斯变量由均值+协方差完全刻画”这个核心点，把这个点拎出来，剩下的就是套收敛定义和不等式啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MGF01