无限长势阶中E=V₀时的物理意义及波函数特性问询

咱们来聊聊无限势阶里E=V₀这个容易被忽略的边界情况吧——毕竟大家平时要么关注E>V₀时的透射反射现象，要么研究E<V₀时的隧穿效应，这个中间态反而容易被一笔带过。

一、薛定谔方程的简化与通解推导 #

首先回顾势阶的势能函数：
$$V(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \ V_0, & z \geq 0 \ \end{cases}$$

当粒子能量$E=V₀$时，针对$z≥0$区域的定态薛定谔方程可以一步步简化：
$$
-\frac{\hbar ^{2}{2m}\frac{\mathrm{d}}2 \psi}{dz^2} + V_0\psi = E\psi
$$
因为$E=V₀$，右边的$E\psi$就等于$V_0\psi$，两边抵消后方程直接变成：
$$
\frac{\mathrm{d}^2 \psi}{dz^2} = 0
$$
这是一个非常简单的二阶常微分方程，它的通解是线性函数形式：
$$
\psi(z) = Az + B \quad (z≥0)
$$
这里的A和B是需要通过边界条件确定的常数。

二、波函数的特性与边界约束 #

接下来结合z<0区域的波函数和边界条件来确定常数：

• z<0区域势能为0，且$E=V₀>0$，所以是自由粒子波函数：$\psi(z) = Ce^{ikz} + De^{{-ikz}$，其中$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}2}}$，C代表入射波振幅，D代表反射波振幅。
• 边界条件要求在z=0处，波函数连续：$\psi(0^-) = \psi(0^+)$，也就是$C + D = B$；同时，因为势能没有无穷大跳跃，波函数的一阶导数也必须连续：$\psi'(0^-) = \psi'(0^+)$，代入后得到$ik(C - D) = A$。

这里有个关键的物理约束：波函数必须满足归一化要求（至少在全空间有限）。如果A≠0，那么当z→+∞时，$\psi(z)=Az+B$会趋向于无穷大，这在物理上是不可实现的——毕竟粒子的概率分布不能发散到无穷远。因此必须令A=0，这样z≥0区域的波函数就简化为$\psi(z)=B$，是一个常数。

结合A=0的条件，导数连续的式子变成$ik(C-D)=0$，也就是C=D，意味着入射波和反射波的振幅完全相等。

三、物理意义解析 #

这个临界情况的物理内涵可以从几个角度理解：

• 反射特性：反射系数$R=|\frac{D}{C}|^2=1$，也就是入射粒子会被完全反射，这和E<V₀时的反射系数一致，但区别在于z>0区域的波函数形态。
• z>0区域的行为：z≥0区域的波函数是常数，说明粒子在该区域的概率密度$|\psi|^2=|B|2$是均匀分布的，但概率流密度$j=\frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*\frac{d\psi}{dz}-\psi\frac{d\psi}*}{dz})=0$——也就是说粒子不会向z→+∞的方向运动，只是“停留”在势阶右侧的均匀概率分布中。
• 临界过渡态：这个情况是E>V₀和E<V₀的中间过渡：当E从下方趋近V₀时，E<V₀区域的指数衰减波的衰减长度趋向无穷大，最终变成常数波；当E从上方趋近V₀时，E>V₀区域的透射行波的波数趋向0，行波退化为常数波。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者roshoka