求证指示函数并集等式：$1_{A\cup B\cup\cdots\cup n}(x)=\max[1_A(x),...,1_n(x)]$

没问题！我来帮你搞定并集情形下指示函数的等式证明，思路和你已经掌握的交集证明完全一致——都是分情况讨论元素(x)的归属就好啦。

首先先把要证明的等式明确一下（修正你笔误的地方，应该是(n)个集合(A_1,A_2,\dots,A_n)的并集）：
$$1_{A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n}(x) = \max\left[1_{A_1}(x), 1_{A_2}(x), \dots, 1_{A_n}(x)\right]$$

分情况验证： #

情况1：(x \in A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) #

根据并集的定义，这意味着(x)至少属于其中某一个集合(A_i)（(1 \leq i \leq n)）。

• 对于这个(A_i)，指示函数(1_{A_i}(x) = 1)
• 那么(\max\left[1_{A_1}(x), 1_{A_2}(x), \dots, 1_{A_n}(x)\right])中至少有一个元素是1，所以最大值就是1
• 而左边的指示函数(1_{A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n}(x))，因为(x)在并集里，所以结果也是1
• 两边相等：(1 = 1)

情况2：(x \notin A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) #

这意味着(x)不属于任何一个(A_i)（(1 \leq i \leq n)）。

• 每个指示函数(1_{A_i}(x) = 0)
• 那么最大值(\max\left[0,0,\dots,0\right] = 0)
• 左边的指示函数因为(x)不在并集里，所以结果也是0
• 两边相等：(0 = 0)

两种情况都验证完毕，等式成立~

另外，你提供的交集情形证明我也帮你整理成规范的公式块啦：
$$
\begin{align}
1_A(x)1_B(x)&=\begin{cases} 1& x\in A\ 0& x\in A^C \end{cases}\begin{cases} 1& x\in B\ 0& x\in B^C \end{cases}\
&=\begin{cases} 1& x\in A \cap x\in B\ 0\cdot 1& x\in A^C\cap B\ 1\cdot 0& x\in A \cap B^C\ 0\cdot 0& x\in A^C \cap B^C\ \end{cases}\
&=\begin{cases} 1& x\in A \cap B\ 0& x\in (A\cap B)^C \end{cases}\
&=1_{A\cap B}(x)
\end{align}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Muradin Bronzebeard