请选择n和x的值使n√x为整数/负数/有理数/无理数并说明限制

别慌！明天测试前把这四个情况吃透就没问题，我给你逐个拆解，配例子加明确的取值限制，一看就懂：

1. 结果为整数（A whole number） #

例子 #

选取 n=2，x=9，计算得：$2\sqrt{9}=2×3=6$，6是整数。
再比如 n=1/2，x=16，计算得：$\frac{1}{2}\sqrt{16}=\frac{1}{2}×4=2$，也是整数。

取值限制 #

要让$n\sqrt{x}$的结果是整数，满足以下任一条件即可：

• 当n是整数时，x必须是非负完全平方数（即x=k²，其中k是整数且k≥0，比如0、1、4、9等），此时$\sqrt{x}=k$是整数，整数乘整数结果仍为整数；
• 当n是有理数时，x可以表示为(m/n)²（其中m是整数，n是非零有理数），此时$\sqrt{x}=|m/n|$，两者相乘后能消去分数部分得到整数。

2. 结果为负数（A negative number） #

例子 #

选取 n=-3，x=4，计算得：$-3\sqrt{4}=-3×2=-6$，-6是负数。

取值限制 #

首先要保证$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，所以x≥0；在此基础上，要让结果为负数，必须同时满足：

• n < 0（即n是负数）；
• x > 0（因为如果x=0，$\sqrt{x}=0$，无论n正负，结果都是0，不是负数）。

3. 结果为有理数（A rational number） #

例子 #

选取 n=3，x=1/4，计算得：$3\sqrt{\frac{1}{4}}=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，是有理数；
再比如 n=2/3，x=9，计算得：$\frac{2}{3}\sqrt{9}=\frac{2}{3}×3=2$，也是有理数。

取值限制 #

• 首先x≥0（保证根号有意义）；
• 核心要求：$\sqrt{x}$是有理数，且n是有理数。因为有理数与有理数相乘的结果仍为有理数。而$\sqrt{x}$是有理数的前提是x可以表示为某个有理数的平方（即x=(p/q)²，其中p、q是整数，q≠0）。

4. 结果为无理数（An irrational number） #

例子 #

选取 n=5，x=2，计算得：$5\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，5乘无理数结果仍为无理数；
再比如 n=1/2，x=3，计算得：$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，也是无理数。

取值限制 #

首先x≥0（保证根号有意义），在此基础上满足以下任一条件：

• n是非零有理数，且$\sqrt{x}$是无理数（即x不是任何有理数的平方，比如x=2、3、1/2这类非完全平方形式的数，且x≠0，因为x=0时结果为0，是有理数）；
• n是无理数，且$\sqrt{x}$是非零有理数（比如n=√2，x=4，计算得$\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$，是无理数）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SparticusEDM