求证：具不可约忠实表示的有限群中心Z(G)在ℂ上是循环群

没问题，我来帮你一步步证明这个结论——若有限群G有不可约忠实复表示，则其中心Z(G)是循环群。下面是详细的推导过程：

首先得用到复表示里的关键工具——Schur引理。对于复数域ℂ上的不可约表示 ρ: G → GL(V)，如果有线性变换 T: V → V 满足对所有 g ∈ G，都有 ρ(g)T = Tρ(g)，那么 T 一定是标量矩阵（也就是 T = λI，其中 λ ∈ ℂ，I 是单位矩阵）。

• 步骤1：中心元素在不可约表示下的作用是标量
  任取中心元素 z ∈ Z(G)，根据中心的定义，对任意 g ∈ G 都有 zg = gz。那么对应的表示满足 ρ(z)ρ(g) = ρ(zg) = ρ(gz) = ρ(g)ρ(z)，也就是 ρ(z) 和所有 ρ(g) 交换。
  结合Schur引理，因为 ρ 是不可约的，所以 ρ(z) = λ_z I，其中 λ_z ∈ ℂ*（这里 ℂ* 是非零复数乘法群，因为 ρ 是群同态，z 是群元素，所以 ρ(z) 可逆，故 λ_z ≠ 0）。

• 步骤2：构造Z(G)到ℂ*的单同态
  定义映射 φ: Z(G) → ℂ*，其中 φ(z) = λ_z。我们来验证这是个群同态：
  对任意 z₁, z₂ ∈ Z(G)，ρ(z₁z₂) = ρ(z₁)ρ(z₂) = λ_z₁ I · λ_z₂ I = (λ_z₁λ_z₂)I，所以 φ(z₁z₂) = λ_z₁λ_z₂ = φ(z₁)φ(z₂)，满足同态性。
  又因为 ρ 是忠实表示（即 ρ(z) = I 当且仅当 z = e，e 是G的单位元），如果 φ(z) = 1，那么 ρ(z) = 1·I = I，所以 z = e，这说明 φ 是单同态。

• 步骤3：有限群在ℂ*中的像必为循环群
  因为 G 是有限群，所以 Z(G) 作为G的子群也是有限的。单同态 φ 把 Z(G) 嵌入到 ℂ* 中，所以 φ(Z(G)) 是 ℂ* 的一个有限子群。
  而复数乘法群 ℂ* 的所有有限子群都是循环群——这个结论可以用单位根的性质来证：假设这个子群的阶是n，那么它的所有元素都是n次单位根，而n次单位根构成的群是循环群（生成元是本原n次单位根）。

• 步骤4：Z(G)同构于循环群，故自身是循环群
  因为 φ 是单同态，所以 Z(G) ≅ φ(Z(G))，而后者是循环群，因此 Z(G) 也必然是循环群。

这样整个结论就证明完毕了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sov