关于密度函数序列逐点收敛能否推出积分绝对差收敛的疑问

我们来探讨一列密度函数 $f_n(x)$ 与另一密度函数 $g(x)$ 的收敛性问题：我们需要证明
$$\lim_{n\to\infty}\int |f_{n}(x)-g(x)|dx=0,$$
这里有两个核心疑问，我们逐一分析：

1. 仅证明 $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=g(x)$ 是否足够？ #

答案是完全不够。逐点收敛（或几乎处处收敛）和 $L^1$ 收敛（即积分绝对值趋于0）是完全不同的收敛概念，前者无法推出后者。

举个经典的反例：考虑区间 $[0,1]$ 上的序列密度函数 $f_n(x)$——它是长度为 $1/n$、高度为 $n$ 的矩形函数，在 $[0,1/n]$ 上取值 $n$，其余区域为0。这列函数对任意固定的 $x>0$，当 $n$ 足够大时（$n>1/x$），$f_n(x)=0$，也就是逐点收敛到0；但计算积分 $\int |f_n(x)-0|dx = 1$，始终保持为1，完全不趋于0。这个例子直接说明，仅靠逐点收敛根本无法保证我们需要的积分收敛结果。

2. 控制收敛定理是否可在此处应用？ #

首先明确控制收敛定理的核心要求：需要存在一个不依赖于n的可积函数 $h(x)$，使得对所有n，$|f_n(x)-g(x)| \leq h(x)$ 几乎处处成立，同时 $f_n(x)$ 逐点（或几乎处处）收敛到 $g(x)$。

题目里给出了 $|f_{n}(x)-g(x)| < f_{n}(x)+g(x)$，且对任意n有 $\int (f_n(x)+g(x))dx = 2$，但这里的问题在于：$f_n(x)+g(x)$ 是随n变化的函数，并不是固定的控制函数，完全不符合控制收敛定理对“控制函数不依赖于n”的要求。

我们还是用类似的反例验证：设 $g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的均匀密度（即 $g(x)=1$，$x\in[0,1]$），$f_n(x)$ 是 $[1-1/n,1]$ 上的均匀密度（即 $f_n(x)=n$，$x\in[1-1/n,1]$，其余为0）。此时显然满足 $|f_n(x)-g(x)| < f_n(x)+g(x)$，且 $\int (f_n+g)dx = 1+1=2$，但计算积分 $\int |f_n(x)-g(x)|dx$：

• 在 $[0,1-1/n]$ 上，$|f_n - g|=1$，积分结果为 $1-1/n$；
• 在 $[1-1/n,1]$ 上，$|f_n - g|=n-1$，积分结果为 $(n-1)\times(1/n)=1-1/n$；
• 总和为 $(1-1/n)+(1-1/n)=2-2/n$，当 $n\to\infty$ 时趋于2，完全不趋于0。

这个例子说明，即使满足题目给出的两个条件，控制收敛定理也无法直接应用，因为缺少一个固定的、不依赖于n的可积控制函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bayesric