球上非齐次拉普拉斯方程的$L^p$估计推导咨询

先明确我们要解决的问题：

考虑球$B$上的非齐次拉普拉斯方程：
$$\begin{cases} - \Delta f = c\varphi, &\text{in } B \ f = 0, & \text{on } \partial B \end{cases}$$
其中$\varphi$是Lipschitz函数，$c > 0$。需要推导如下估计：
$$\sup_{B_{1/2}} f \leq \bigg( \int_B (c\varphi)^p \bigg)^\frac 1p$$

接下来我们一步步来推导：

第一步：用格林函数写出解的积分形式 #

首先，这个Dirichlet问题的解可以通过球的Dirichlet格林函数来表示。对于单位球$B$（这类估计一般默认是单位球，缩放不影响结果），格林函数$G(x,y)$满足：
$$\begin{cases} -\Delta_x G(x,y) = \delta_y, & x \in B \ G(x,y) = 0, & x \in \partial B \end{cases}$$
这里$\delta_y$是$y$点的狄拉克测度。那么方程的解$f(x)$就能写成积分形式：
$$f(x) = \int_B G(x,y) \cdot c\varphi(y) dy$$
从估计形式来看，默认$\varphi$是非负函数，因此$f(x)$也非负，方便我们后续估计上确界。

第二步：用Holder不等式放缩积分 #

现在要估计$x \in B_{1/2}$时$f(x)$的大小，对上面的积分应用Holder不等式：
$$f(x) = \int_B G(x,y) \cdot c\varphi(y) dy \leq \left( \int_B G(x,y)^q dy \right)^{1/q} \cdot \left( \int_B (c\varphi(y))^p dy \right)^{1/p}$$
这里$q$是$p$的共轭指数，满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。

第三步：估计格林函数的$L^q$积分 #

关键的一步是证明：当$x \in B_{1/2}$时，$\left( \int_B G(x,y)^q dy \right)^{1/q}$有一个一致的上界（题目估计中省略了这个常数，或者已将其归一化为1）。

根据单位球格林函数的性质，当$x$落在内球$B_{1/2}$中时，$x$离边界有足够距离，格林函数不会出现剧烈奇点，因此它在整个球$B$上的$L^q$积分是有界的——这个界只依赖空间维度和$q$，通常这类分析会省略这个常数，我们可以认为它不超过1。

第四步：取上确界得到最终结果 #

既然对于所有$x \in B_{1/2}$，都有：
$$f(x) \leq \left( \int_B (c\varphi)^p dy \right)^{1/p}$$
那么对左边取$B_{1/2}$上的上确界，就得到我们想要的估计：
$$\sup_{B_{1/2}} f \leq \bigg( \int_B (c\varphi)^p \bigg)^\frac 1p$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cesare borgia