如何整定内模控制（IMC）控制器？附具体系统参数需求

没问题，我来一步步帮你推导所需的近似模型$G_m(s)$，完成控制器整定：

1. 明确IMC闭环传递函数关系 #

首先，根据内模控制的反馈结构，输出$y$与参考输入$W$之间的闭环传递函数公式为：
$$G_{wy}(s) = \frac{Q(s)G(s)}{1 + Q(s)(G(s) - G_m(s))}$$
题目中已给定$Q(s)=1$，代入后公式简化为：
$$G_{wy}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s) - G_m(s)}$$

2. 变形公式求解$G_m(s)$ #

我们的目标是从已知的$G(s)$、$G_{wy}(s)$反推$G_m(s)$，对上述公式进行移项变形：

• 两边同乘分母：$G_{wy}(s)\left(1 + G(s) - G_m(s)\right) = G(s)$
• 展开并整理含$G_m(s)$的项：
  $$G_m(s) = 1 + G(s) - \frac{G(s)}{G_{wy}(s)}$$

3. 代入已知模型计算 #

已知实际系统模型：
$$G(s) = \frac{20}{s^2 +4s +40}$$
期望闭环传递函数：
$$G_{wy}(s) = \frac{25}{s^2 +4s +25}$$

步骤3.1 计算$\frac{G(s)}{G_{wy}(s)}$ #

$$\frac{G(s)}{G_{wy}(s)} = \frac{20}{s^2+4s+40} \times \frac{s^2+4s+25}{25} = \frac{4(s^{2+4s+25)}{5(s}2+4s+40)}$$

步骤3.2 计算$1 + G(s)$ #

$$1 + G(s) = \frac{(s^2+4s+40) + 20}{s^2+4s+40} = \frac{s^2+4s+60}{s2+4s+40}$$

步骤3.3 合并得到$G_m(s)$ #

将上述结果代入$G_m(s)$的表达式，通分后计算分子：
$$
\begin{align*}
G_m(s) &= \frac{s^2+4s+60}{s2+4s+40} - \frac{4(s^{2+4s+25)}{5(s}2+4s+40)} \
&= \frac{5(s^2+4s+60) - 4(s^{2+4s+25)}{5(s}2+4s+40)} \
&= \frac{s^2 +4s +200}{5(s^2+4s+40)}
\end{align*}
$$
也可以整理为更直观的形式：
$$G_m(s) = \frac{0.2s^2 + 0.8s +40}{s^2+4s+40}$$

4. 验证结果 #

将求得的$G_m(s)$、$G(s)$和$Q(s)=1$代入IMC闭环公式，可验证得到的传递函数与期望的$G_{wy}(s)$完全一致，说明整定结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者euraad