关于克拉默法则、矩阵叉乘及三边测量矩阵乘法的技术问询
嘿，刚好我对三边测量里的坐标求解这块挺熟悉的，来给你把这个问题讲透！你提到的公式6（距离平方方程）和公式7（线性化后的矩阵方程），它们的多项式相乘不是单纯的“按位置交叉相乘”，而是要结合线性代数的矩阵乘法规则，加上先消去二次项的关键步骤，具体流程如下：
第一步：展开并简化距离平方方程
先看公式6，它本质是空间中两点的距离平方公式：
$(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2 = d_i^2$
把左边的平方项展开：
$x^2 - 2x_i x + x_i^2 + y^2 - 2y_i y + y_i^2 + z^2 - 2z_i z + z_i^2 = d_i^2$
这时候方程里有$x2、y2、z^2$这些二次项，没法直接用矩阵乘法解，所以关键操作是用两个不同的距离方程相减，消去所有二次项。比如用第i个方程减第1个方程，就能得到：
$2(x_1 - x_i)x + 2(y_1 - y_i)y + 2(z_1 - z_i)z = d_i^2 - d_1^2 + x_1^2 - x_i^2 + y_1^2 - y_i^2 + z_1^2 - z_i^2$
第二步：构建线性矩阵方程（对应公式7）
把多个这样的线性方程组合起来，就得到了公式7的$Ax = b$形式：
- 矩阵$A$的每一行是对应线性方程中$x、y、z$的系数，比如上面例子里的
[2(x1 - xi), 2(y1 - yi), 2(z1 - zi)] - 向量$x$是待求的坐标
[x, y, z]^T - 向量$b$是方程右边的常数项，也就是
d_i² - d_1² + x_1² - x_i² + y_1² - y_i² + z_1² - z_i²
第三步：矩阵乘法的正确展开方式
这时候的矩阵乘法完全遵循行向量×列向量的点积规则，不是随便交叉相乘：
对于$Ax = b$中的第k行，计算方式是：A[k][0]*x + A[k][1]*y + A[k][2]*z = b[k]
举个2D的简化例子更直观：
假设我们有两个距离方程，相减后得到：
$2(x_1 - x_2)x + 2(y_1 - y_2)y = d_2^2 - d_1^2 + x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2$
写成矩阵形式就是：
$\begin{bmatrix} 2(x_1 - x_2) & 2(y_1 - y_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_2^2 - d_1^2 + x_1^2 - x_2^2 + y_1^2 - y_2^2 \end{bmatrix}$
这里的展开就是2(x1 - x2)*x + 2(y1 - y2)*y，结果等于右边的常数项，这就是标准的矩阵乘法展开逻辑。
关键提醒
千万不要跳过“消去二次项”这一步直接去乘——原公式6是二次方程，直接相乘会得到四次项，完全没法用矩阵求解。线性化（消二次项）是三边测量坐标求解的核心前提，之后的矩阵乘法就是线性代数里的标准操作了。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者ewizard
