静电边值问题：带电空心金属球半浸没介电液体的电势求解

最近碰到这么个问题：一开始有个中性空心金属球，只是轻微浸在介电液体里；给它通上电荷$Q$之后，因为球体上的$Q$和介电液体里感应出的电荷之间有相互作用，球体最终变成了半浸没的状态。现在得搞清楚这个状态下空间各处的电场和电势分布，我梳理了下初步的求解思路，分享给大家：

• 第一步：明确边界条件与模型简化
  先把问题做对称化处理——半浸没的球体可以看作一个半球处于介电液体（介电常数$\epsilon_1$）中，另一个半球处于空气（介电常数$\epsilon_0$）中。金属球本身是等势体，电势可设为$\phi_0$，后续也能用总电荷$Q$做约束。同时要牢记金属球表面的电场边界条件：切向分量为0，法向分量满足电位移矢量的跃变关系$\vec{D}_1 \cdot \vec{n} - \vec{D}_0 \cdot \vec{n} = \sigma$（$\sigma$是金属球表面的自由电荷面密度）。

• 第二步：用分离变量法求解拉普拉斯方程
  问题具备轴对称性（以液面与球体交线的对称轴为极轴），所以采用球坐标系，以球心为原点建立坐标系。分别在空气区域和介电液体区域求解拉普拉斯方程$\nabla^2 \phi = 0$，解的形式用勒让德多项式展开：
  $$\phi(r,\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( A_n r^n + \frac{B_n}{r^{n+1}} \right) P_n(\cos\theta)$$
  接下来结合无穷远处电势为0（空气区域）、液面处的连续条件（$\phi_0 = \phi_1$，$\epsilon_0 \frac{\partial \phi_0}{\partial z} = \epsilon_1 \frac{\partial \phi_1}{\partial z}$，$z$为液面方向）、金属球表面的边界条件，逐步确定展开系数$A_n$和$B_n$。

• 第三步：结合总电荷约束锁定未知量
  金属球的总电荷$Q$等于表面自由电荷的积分：$Q = \oint \sigma dS = \oint (\vec{D}_1 - \vec{D}_0) \cdot \vec{n} dS$（浸在液体的半球用$\vec{D}_1$，空气侧用$\vec{D}_0$）。通过这个积分可以把之前的展开系数和$Q$关联起来，从而确定所有未知的系数。

• 第四步：推导最终的电场与电势分布
  得到空气区域和液体区域的电势表达式后，电场可以通过$\vec{E} = -\nabla \phi$直接计算得出；金属球内部因为是导体，电场为0，电势处处等于球表面的电势。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Heng Fai Chang