置换矩阵的向量形式存储及MATLAB中矩阵置换操作方法问询

嘿，这个问题问得特别实用！在MATLAB里用这种向量形式的置换来操作矩阵其实非常直观，核心要分行置换和列置换两种场景，我给你拆解清楚：

你提到的向量p，每个元素p(i)表示置换矩阵第i行中1所在的列。换句话说，这个置换矩阵P满足P(i, p(i)) = 1，是一个标准的行置换矩阵。

如果想把置换矩阵作用在矩阵A的行上（也就是用P左乘A），直接用向量p作为行索引即可：

% 示例：假设A是3x3矩阵，p是行置换向量
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
p = [3, 1, 2];  % 表示置换矩阵第1行取A的第3行，第2行取A的第1行，第3行取A的第2行

% 行置换结果，等价于 P*A
row_permuted_A = A(p, :);

运行后row_permuted_A会变成：

7 8 9
1 2 3
4 5 6

如果想把置换作用在矩阵A的列上（用P右乘A），直接用向量p作为列索引：

% 列置换结果，等价于 A*P
col_permuted_A = A(:, p);

运行后col_permuted_A会变成：

3 1 2
6 4 5
9 7 8

这里的逻辑是：把A的第p(1)列作为结果的第1列，第p(2)列作为结果的第2列，以此类推。

如果需要把置换后的矩阵还原回原矩阵，可以用MATLAB内置的invperm函数生成置换向量的逆置换：

% 生成p的逆置换向量
p_inv = invperm(p);  % 对于p=[3,1,2]，p_inv会是[2,3,1]

% 还原行置换后的矩阵
restored_A = row_permuted_A(p_inv, :);
% 还原列置换后的矩阵
restored_A = col_permuted_A(:, p_inv);

• 置换向量p必须是1:n的一个完整排列（n是矩阵的行数/列数），不能有重复值或超出范围的数，否则MATLAB会抛出索引错误。
• 这种向量形式的置换比直接构造置换矩阵更高效，尤其是当矩阵规模很大时，能节省内存和计算时间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ted