量子计算：控制量子比特为|0⟩时的CNOT门操作疑问

先给你拆解清楚这个问题——咱们从CNOT门的核心特性入手：

CNOT门的矩阵表示是：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

它是一个双量子比特门，第一个是控制比特，第二个是目标比特。它的规则很直白：只有当控制比特处于$|1\rangle$时，才会翻转目标比特的状态；如果控制比特是$|0\rangle$，目标比特就完全保持原样。

咱们用数学计算验证一下：假设控制比特$\psi=|0\rangle$，目标比特$\phi$是任意状态$|\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$，那么输入的联合量子态可以写成列向量形式：$\begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$。

把这个向量和CNOT矩阵相乘：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ 0 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \ \beta \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$$

结果和输入向量完全一致，也就是说目标比特的状态没有任何改变。

拿你问题里的例子来说：$\psi=|0\rangle$，$\phi=|1\rangle$，输入态是$|01\rangle$，对应列向量$\begin{pmatrix}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{pmatrix}$，经过CNOT门操作后还是$\begin{pmatrix}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{pmatrix}$，目标比特依然是$|1\rangle$，没有翻转。

总结一下核心结论：

• 当控制量子比特处于$|0\rangle$时，CNOT门对目标量子比特无任何作用，目标比特保持初始状态不变
• 只有控制比特为$|1\rangle$时，目标比特才会被翻转（$|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle$）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexandre Daubricourt