如何证明满维凸体的格宽可达性？

首先明确核心前提：我们的$K$是满维闭有界凸集（凸体），所以它有非空内部，且对任意非零向量$d$，宽度$w_d(K) = \underset{x \in K}{\text{max}} \space d^tx - \underset{x \in K}{\text{min}} \space d^{tx$一定为正——如果某个非零$d$的宽度为0，那$K$会被包含在$d}tx=\text{常数}$的超平面里，直接和“满维”矛盾。

接下来分两步完成证明：

1. 用支撑函数构造连续下界 #

对单位球面$S^{n-1}$上的任意单位向量$u$，定义$\varphi(u) = h_K(u) - h_K(-u)$，其中$h_K$是$K$的支撑函数：$h_K(u) = \underset{x \in K}{\text{max}} \space u^tx$。

• 支撑函数$h_K$在$S^{{n-1}$上是连续的（因为$K$是紧集，连续函数的最大值运算保持连续性），所以$\varphi(u)$作为两个连续函数的差，也是$S}{n-1}$上的连续函数。
• 由于$K$满维，$\varphi(u) > 0$对所有$u \in S^{{n-1}$成立（前面已经解释过原因）。而$S}{n-1}$是紧集，连续正函数在紧集上必有正的最小值$m$，即存在$m>0$，使得对所有$u \in S^{n-1}$，$\varphi(u) \geq m$。

2. 把整数向量限制到有限集合 #

对任意非零整数向量$d$，我们可以将其拆解为$d = t \cdot u$，其中$t = |d| > 0$，$u = d/|d| \in S^{n-1}$。此时：
$$w_d(K) = h_K(d) - h_K(-d) = t \cdot h_K(u) - t \cdot h_K(-u) = t \cdot \varphi(u) \geq t \cdot m = |d| \cdot m$$

现在取一个候选宽度值：比如标准基向量$e_1,e_2,...,e_n$对应的宽度的最大值，记为$W = \text{max}{w_{e_i}(K) \mid i=1..n}$。当$|d| > W/m$时，$w_d(K) \geq |d| \cdot m > W$，这说明这些“足够大”的整数向量对应的宽度都比$W$大，不可能成为格宽的最小值。

因此，我们只需要考虑所有满足$0 < |d| \leq W/m$的整数向量$d$——这个集合是有限的（有界区域内的整数向量数量必然有限）。有限集合上的函数（这里是$w_d(K)$）必然能取到最小值，所以格宽$w(K) = \underset{d \in \mathbb{Z}^n \setminus {0}}{\text{min}} \space w_d(K)$的最小值一定能取到。

注：原定义里的$d \in \mathbb{Z}^n$需要排除$d=0$的情况，因为$d=0$时$w_d(K)=0$，对满维凸体没有实际意义，格宽的标准定义都是针对非零整数向量的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者independentvariable