求证递推序列$s_{n+1} = \frac{1}{2}(s_n+\frac{3}{s_n})$在n≥2时单调递减

Hey，我来帮你搞定这个归纳卡壳的问题！其实你不用硬盯着归纳假设 $s_{k+1}<s_k$ 死磕，换个先证明序列下界的角度，问题就迎刃而解了。这个递推式本质是牛顿迭代法求 $\sqrt{3}$ 的公式，咱们利用它的这个特性来突破：

第一步：先证 $n≥2$ 时，所有 $s_n > \sqrt{3}$ #

用均值不等式（AM ≥ GM）就能轻松推导：
对于任意正数 $x$，都有 $\frac{1}{2}(x + \frac{3}{x}) ≥ \sqrt{x \cdot \frac{3}{x}} = \sqrt{3}$，等号成立当且仅当 $x=\sqrt{3}$。

已知 $s_2=2>\sqrt{3}$，咱们用归纳法巩固这个结论：

• 基例：$n=2$ 时，$s_2=2>\sqrt{3}$ 成立；
• 归纳假设：假设对于某个 $k≥2$，$s_k>\sqrt{3}$；
• 归纳步骤：$s_{k+1}=\frac{1}{2}(s_k+\frac{3}{s_k})≥\sqrt{3}$，又因为 $s_k≠\sqrt{3}$，所以 $s_{k+1}>\sqrt{3}$。

由此可得，所有 $n≥2$ 时，$s_n>\sqrt{3}$。

第二步：证明 $s_{k+2} < s_{k+1}$ #

现在咱们直接计算两项的差值，看它的符号：

s_{k+1} - s_{k+2} = s_{k+1} - \frac{1}{2}(s_{k+1} + \frac{3}{s_{k+1}})
= \frac{1}{2}s_{k+1} - \frac{3}{2s_{k+1}}
= \frac{s_{k+1}^2 - 3}{2s_{k+1}}

结合第一步的结论，$s_{k+1}>\sqrt{3}$：

• 分子 $s_{k+1}^2 - 3 > 0$；
• 分母 $2s_{k+1} > 0$。

所以整个差值大于0，也就是 $s_{k+1} > s_{k+2}$。

再结合你已经算出的基例 $s_3<s_2$，就可以得出结论：当 $n≥2$ 时，这个序列是单调递减的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AruniRC