复域上实变量复值函数空间的基变换：求可逆矩阵P

嘿，我太懂这种困惑了——函数空间的基变换看起来好像和咱们平时练的列向量基变换不是一回事，但本质逻辑完全相通！咱们把这个问题拆碎了，和你熟悉的内容对应上，马上就清晰了。

首先，先把核心的工具摆出来：欧拉公式，这是连接指数函数和三角函数的关键：
e^(ix) = cosx + i sinx
e^(-ix) = cosx - i sinx

题目要求的是找到可逆矩阵P，满足gⱼ = ∑₁³ Pᵢⱼ fᵢ。翻译成人话就是：每个g_j都要写成f₁、f₂、f₃的线性组合，而矩阵P的第j列，就是这个组合里f₁、f₂、f₃对应的系数（注意下标顺序：P_ij是f_i在g_j表达式里的系数，所以第j列的元素依次是P₁j、P₂j、P₃j）。

那咱们逐个推导每个g_j的表达式：

• 对于g₁(x)=1：它本身就等于f₁(x)，所以线性组合就是g₁ = 1·f₁ + 0·f₂ + 0·f₃，对应P的第一列是[1, 0, 0]^T
• 对于g₂(x)=cosx：用欧拉公式变形，把cosx拆成指数函数的组合：
  cosx = (e^(ix) + e^(-ix))/2 = 0·f₁ + (1/2)·f₂ + (1/2)·f₃
  所以P的第二列是[0, 1/2, 1/2]^T
• 对于g₃(x)=sinx：同样用欧拉公式变形：
  sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i) = 0·f₁ + (1/(2i))·f₂ + (-1/(2i))·f₃
  为了更简洁，我们可以把1/(2i)化简成-i/2（因为i²=-1，所以1/i=-i），所以式子也可以写成：
  sinx = 0·f₁ + (-i/2)·f₂ + (i/2)·f₃
  对应P的第三列是[0, -i/2, i/2]^T

现在把这些列拼起来，就是我们要找的矩阵P：

P = [
    [1,  0,    0   ],
    [0, 1/2, -i/2 ],
    [0, 1/2,  i/2 ]
]

为啥这和普通向量基变换是一回事？ #

你之前处理的向量基变换，是把某个向量在旧基下的坐标，转换成新基下的坐标。这里的函数空间其实是在一个3维子空间里（由{f₁,f₂,f₃}张成），每个基函数就相当于普通向量空间里的基向量：比如f₁对应(1,0,0)，f₂对应(0,1,0)，f₃对应(0,0,1)。而g_j在这个旧基下的坐标，就是P的第j列——这和你熟悉的基变换逻辑完全一致！

最后验证下可逆性：计算P的行列式，结果是1·[(1/2)(i/2) - (-i/2)(1/2)] = 1·(i/4 + i/4) = i/2 ≠ 0，确实是可逆矩阵，符合题目要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mrose