关于Hartshorne代数几何注记8.9.2中对角态射核的疑问

嘿，我来帮你把这个困惑的细节捋清楚！咱们一步一步拆解：

首先，先回顾几个关键对应关系，你已经掌握了大部分，我补全核心的环同态部分：

• 态射$g:V \to U$（其中$V=\text{Spec }B$，$U=\text{Spec }A$）对应的环同态是$\varphi:A \to B$（概形态射和环同态是反方向对应的，这个基础点容易被忽略）。
• 纤维积$V \times_U V$确实同构于$\text{Spec }(B \otimes_A B)$，这是仿射概形纤维积的标准结论。

接下来是核心的对角态射部分：
概形的对角态射$\Delta_{X/Y}:X \to X \times_Y X$，限制到开集$V$上，就得到$\Delta_{V/U}:V \to V \times_U V$。这个概形态射对应的环同态就是作者提到的$f:B \otimes_A B \to B$，它的完整定义是$f(b \otimes b') = b b'$（你没写完的部分，这是对角态射对应的标准环映射）。

现在解决核心疑问：为什么$\Delta(X) \cap (V \times_U V)$是由$\text{Ker}(f)$定义的？
咱们从仿射概形的闭子概形对应关系入手：

1. 对于仿射概形$\text{Spec }R$，它的闭子概形和$R$的理想是一一对应的——一个理想$I \subset R$对应闭子概形$\text{Spec }(R/I)$。
2. 对角态射$\Delta_{V/U}(V)$是$V \times_U V$的闭子概形（分离概形的对角是闭浸入，Hartshorne里已经铺垫过这个性质），而这个闭子概形刚好就是$\Delta(X) \cap (V \times_U V)$——因为$\Delta(X)$是$X \times_Y X$的对角，$V \times_U V$是$X \times_Y X$里的开集，它们的交就是对角在这个开集上的限制，也就是$\Delta(V)$。
3. 转到环的层面看：$\Delta_{V/U}(V) \cong V \cong \text{Spec }B$，根据环同态的第一同构定理，$B \otimes_A B / \text{Ker}(f) \cong \text{Im}(f)$，而$f$是满射（对任意$b \in B$，$f(b \otimes 1)=b$），所以$B \otimes_A B / \text{Ker}(f) \cong B$。这就意味着$\text{Spec }(B \otimes_A B / \text{Ker}(f)) \cong \text{Spec }B \cong \Delta(V)$，也就是$\Delta(X) \cap (V \times_U V)$作为$V \times_U V$的闭子概形，正好由$\text{Ker}(f)$这个理想定义。

最后给你一个直观例子辅助理解：
假设$A=k[x_1,...,x_n]$（$k$是域），$B=k[y_1,...,y_m]$，态射$g$对应把$x_i$映到$B$里的多项式$\varphi(x_i)=p_i(y_1,...,y_m)$。那么$B \otimes_A B$就是$k[y_1,...,y_m,z_1,...,z_m]$模掉$p_i(y)-p_i(z)$这些关系，而$\text{Ker}(f)$就是由$y_j - z_j$生成的理想——这个理想的零点集就是所有满足$y_j=z_j$的点，完全对应我们直观理解的对角集合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ett