为何当ψ为斜映射时，诱导映射ψ₁:Im(ψ)→Im(ψ)是正则斜映射？

咱们一步步来拆解这个问题，结合Greub《线性代数》里的内容就能把逻辑理清楚：

• 第一步：先抓斜映射的核心性质
  斜映射有个关键属性：它是正规映射（书里S.5节已经明确这点）。正规映射的核心特征是：它的像空间$\text{Im}(\psi)$和核空间$\text{Ker}(\psi)$是正交补的关系，也就是$\text{Im}(\psi) = \text{Ker}(\psi)^\perp$——简单说就是这两个空间没有非零的公共向量，合起来撑满整个原空间。

• 第二步：证明诱导变换ψ₁是正则的
  诱导变换$\psi_1: \text{Im}(\psi) \to \text{Im}(\psi)$其实就是把原斜映射$\psi$限制在它的像空间上的映射。要证明它是正则的（也就是可逆、核只有零向量），咱们用反证法思路：
  假设存在非零向量$x \in \text{Im}(\psi)$，使得$\psi_1(x) = \psi(x) = 0$，那这就意味着$x \in \text{Ker}(\psi)$。但$x$同时在$\text{Im}(\psi)$里，而刚才说了$\text{Im}(\psi)$和$\text{Ker}(\psi)$是正交补，它们的交集只有零向量，所以$x$只能是零向量。这就说明$\psi_1$的核只有零向量，在有限维空间里，这就等价于$\psi_1$是正则（可逆）的。

• 第三步：确认ψ₁仍是斜映射
  斜映射的定义是：对任意向量$u, v$，内积满足$\langle \psi(u), v \rangle = -\langle u, \psi(v) \rangle$。现在把$\psi$限制在$\text{Im}(\psi)$上，对于像空间里的任意$u, v$，这个内积关系显然依然成立，所以$\psi_1$自然也是斜映射。

再补充一下Greub书里的原文佐证，帮你对应上教材内容：

更一般地，下面将证明斜变换的秩总是偶数。由于每个斜映射都是正规的（见S.5节），像空间是核的正交补。因此，诱导变换ψ₁:Im(ψ)→Im(ψ)是正则的。由于ψ₁仍是斜映射，由此可得Im(ψ)的维数必为偶数。由此结果可推知斜对称……

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