请求用代数几何证明m<n时满秩矩阵空间M(m×n,R)的连通性

Hey，我来拆解下用代数几何思路证明实满秩$m\times n$矩阵空间连通的可行路径：

1. 转化问题：用代数集刻画不满秩矩阵 #

首先明确核心等价关系：

一个$m\times n$实矩阵满秩（秩为$m$）当且仅当它至少存在一个非零的$m$阶子式。

基于这个，我们可以构造对应的代数方程组：

• 给矩阵$A=(a_{ij})$的每个元素$a_{ij}$（$1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$）设为独立未知数，总共有$mn$个变量。
• 枚举$A$中所有$\binom{n}{m}$个$m\times m$子矩阵，对每个子矩阵计算行列式，得到$\binom{n}{m}$个$m$次实多项式：$P_1(a_{11},\dots,a_{mn}), P_2(a_{11},\dots,a_{mn}), \dots, P_{\binom{n}{m}}(a_{11},\dots,a_{mn})$。
• 定义代数集$V = { A\in M(m\times n,\mathbb{R}) \mid P_k(A)=0,\ \forall k=1,\dots,\binom{n}{m} }$，这个集合恰好就是所有不满秩的$m\times n$实矩阵——因为秩小于$m$的矩阵的所有$m$阶子式全为0。

2. 拓扑性质推导：满秩空间是开集 #

从代数几何的拓扑视角看：

• 每个多项式$P_k$都是$\mathbb{R}^{{mn}\to\mathbb{R}$的连续函数（多项式函数的连续性是欧几里得拓扑下的基本结论），因此每个$P_k}{-1}(0)$是闭集，它们的交集$V$也是闭集。
• 满秩矩阵空间就是$\mathbb{R}^{mn}\setminus V$，也就是$\mathbb{R}^{mn}$中的开子集。

3. 连通性证明：利用开集的路径连通性 #

对于$\mathbb{R}^N$中的开子集，连通性等价于路径连通性，所以我们只需要证明任意两个满秩矩阵之间存在一条完全落在满秩空间里的连续路径。这里可以结合代数几何中关于代数簇的维数结论：

• 当$m<n$时，不满秩矩阵构成的代数集$V$的余维数为$(m - (m-1))(n - (m-1)) = n - m + 1 \geq 2$（因为$m<n$，所以$n-m+1\geq2$）。
• 在$\mathbb{R}^{mn}$中，余维数$\geq2$的闭代数集无法分隔整个空间的开子集——简单来说，任意两个满秩矩阵之间的直线路径如果穿过$V$，我们总能找到一条“绕开”$V$的连续路径（因为$V$的“体积”维度不够，无法阻断所有路径）。

另外，也可以结合线性代数的群作用辅助验证：

• 一般线性群$GL(m,\mathbb{R})$（实可逆$m\times m$矩阵群）左乘作用在$M(m\times n,\mathbb{R})$上，这个作用是连续的，且所有满秩矩阵都在同一个轨道里（任意满秩矩阵都可以通过左乘可逆矩阵化为行最简标准形，比如前$m$列为单位矩阵，后$n-m$列为任意矩阵）。
• 而$GL(m,\mathbb{R})$本身是连通的（可逆矩阵可以通过连续路径连接到单位矩阵），因此同一轨道内的任意两个元素都可以通过连续路径连接。

综上，满秩矩阵空间$M(m\times n,\mathbb{R})$（$m<n$）是连通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jeff