关于广义均值定理推导分析学相关等式的技术问询

首先咱们先明确**广义均值定理（柯西中值定理）**的核心内容：如果两个函数$F(t)$和$H(t)$满足：

• 在闭区间$[a,x]$上连续；
• 在开区间$(a,x)$内可导；
• 对所有$t\in(a,x)$，$H'(t)\neq0$；

那么必然存在某个$c\in(a,x)$，使得：
$$\frac{F'(c)}{H'(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{H(x)-H(a)}$$

第一个式子的推导：$\frac{g'(c)}{e^{c}=\frac{g(x)-g(a)}{e}x-e^a}$ #

已知$g(t)=e^t f(t)$，咱们把柯西中值定理里的两个函数设定为：

• $F(t)=g(t)=e^t f(t)$
• $H(t)=e^t$

先验证条件：

1. 分析学书籍的场景下，$f(t)$通常是连续可导的，$e^t$本身也是连续可导的，所以$F(t)$和$H(t)$在$[a,x]$上连续，在$(a,x)$内可导；
2. $H'(t)=e^t$，指数函数永远不为0，满足$H'(t)\neq0$的要求。

直接套用柯西中值定理的公式：
$$\frac{F'(c)}{H'(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{H(x)-H(a)}$$

把$F(t)=g(t)$、$H(t)=e^{t$代入，$H'(c)=e}c$，就得到：
$$\frac{g'(c)}{e^c} = \frac{g(x)-g(a)}{e^x - e^a}$$

这就是你看到的第一个式子啦。

第二个式子的推导：$\frac{e^x f(x)-e^a f(a)}{e^x-ea}=f(c)+f'(c)$ #

首先，左边的分子$e^x f(x)-e^a f(a)$其实就是$g(x)-g(a)$（因为$g(t)=e^t f(t)$），所以左边可以写成$\frac{g(x)-g(a)}{e^x - e^{a}$，而根据第一个式子，它等于$\frac{g'(c)}{e}c}$。

现在咱们计算$g'(t)$，用乘积求导法则：
$$g'(t) = \frac{d}{dt}[e^t f(t)] = e^t \cdot f(t) + e^t \cdot f'(t) = e^t\left(f(t)+f'(t)\right)$$

把$t=c$代入，得到：
$$g'(c) = e^c\left(f(c)+f'(c)\right)$$

然后把$g'(c)$代入$\frac{g'(c)}{e^{c}$，分子分母的$e}c$约掉，就得到：
$$\frac{g'(c)}{e^c} = f(c)+f'(c)$$

结合前面的结论，左边$\frac{e^x f(x)-e^a f(a)}{e^x-ea}$就等于$f(c)+f'(c)$，第二个式子也就推导完成了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ziya