求证：有限维空间上线性算子单射与满射等价（满射推单射待证）

看起来你已经走对路了，卡在最后一步而已！我们顺着你选的基的思路往下推，再结合有限维空间的核心性质就能解决：

首先回顾你已经做的铺垫：

假设$T$是满射，设$(e_{1},e_{2},...e_{n})$是$V$的一组基，任取$v_{1},v_{2} \in V$，则$v_{1} = a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+....+a_{n}e_{n}$（其中$a_i\in K$，$K$为域），同理$v_{2} = b_{1}e_{1}+b_{2}e_{2}+....+b_{n}e_{n}$（其中$b_i\in K$）

我们的目标是证明若$T(v_1)=T(v_2)$，则$v_1=v_2$，等价于证明$T$的零空间$\text{null}(T)={0}$（只有零向量被映射到零）。

顺着基的思路推导： #

1. 因为$T$是满射，所以$T$的值域$\text{range}(T)=V$。而$V$的基是$(e_1,...,e_n)$，这意味着每个基向量$e_i$都能被$T$的像表示，换句话说，${T(e_1), T(e_2), ..., T(e_n)}$张成整个$V$。
2. 由于$V$是$n$维空间，而一组张成$n$维空间的$n$个向量必然是线性无关的（这是有限维空间的关键性质：若$n$个向量张成$n$维空间，则它们构成该空间的基，线性无关）。所以${T(e_1), ..., T(e_n)}$是$V$的一组线性无关的基。
3. 现在假设$T(v_1)=T(v_2)$，那么$T(v_1-v_2)=0$。令$w = v_1-v_2 = c_1e_1 + c_2e_2 + ... + c_ne_n$（其中$c_i = a_i - b_i$），代入得：
   $$T(w) = c_1T(e_1) + c_2T(e_2) + ... + c_nT(e_n) = 0$$
4. 因为${T(e_1), ..., T(e_n)}$线性无关，所以上式成立当且仅当所有系数$c_i=0$，即$w=0$，也就是$v_1=v_2$。

这样就完成了满射推单射的证明。

更快捷的方法：用维数公式 #

如果你想用更简洁的方式，有限维空间的维数公式是神器：
对于任意$T\in L(V)$，有：
$$\dim V = \dim \text{null}(T) + \dim \text{range}(T)$$
因为$T$是满射，所以$\dim \text{range}(T) = \dim V$，代入公式得：
$$\dim V = \dim \text{null}(T) + \dim V$$
两边减去$\dim V$，得到$\dim \text{null}(T)=0$，而零空间维数为0意味着它只能包含零向量，即$T$是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sei Sakata