已知逆的对称正定矩阵加对角矩阵后的逆矩阵高效算法问询

嘿，这个问题在数值线性代数里属于典型的正定矩阵对角修正求逆场景，咱们结合你提到的Cholesky思路问题，来聊聊更高效且稳定的解法：

核心思路：基于Sherman-Morrison公式的逐次秩1修正 #

你之前尝试用多次秩1修改更新Cholesky分解，问题大概率出在数值误差积累或者未针对对角修改做优化上。其实咱们可以直接利用已知的$A^{-1}$，结合Sherman-Morrison公式（Woodbury公式的秩1特例）来高效计算，完全绕开Cholesky分解的多次更新问题。

公式推导 #

因为$R$是对角矩阵，我们可以把它拆成$n$个秩1矩阵的和：
$$R = \sum_{i=1}^n r_i e_i e_i^T$$
其中$e_i$是第$i$个标准单位向量，$r_i$是$R$的第$i$个对角元（正定保证$r_i>0$）。

对于每次单个对角元的修正$(B_{k-1}^{-1} + r_k e_k e_k^T){-1}$，应用Sherman-Morrison公式可得：
$$B_k = B_{k-1} - \frac{r_k \cdot B_{k-1} e_k \cdot e_k^T B_{k-1}}{1 + r_k \cdot e_k^T B_{k-1} e_k}$$

具体实现步骤（高效且数值稳定） #

1. 初始化：令$B = A^{-1}$（已知输入）
2. 逐次修正：遍历$R$的每个对角元$r_i$（顺序不影响结果，建议按自然顺序）：
   • 取出$B$的第$i$列，记为向量$v = B e_i$
   • 计算标量$\alpha = \frac{r_i}{1 + r_i \cdot v_i}$（$v_i$是$v$的第$i$个元素，也就是$B$的$(i,i)$对角元）
   • 更新矩阵$B$：$B = B - \alpha \cdot v v^T$
3. 结果：最终的$B$就是$(A+R)^{-1}$

优势分析 #

• 时间复杂度：每次迭代仅需O(n)操作，总复杂度为O(n²)，远低于直接对$A+R$做Cholesky/LU分解的O(n³)，尤其适合大维度矩阵场景。
• 数值稳定性：因为$A$和$A+R$都是正定矩阵，每次计算的分母$1 + r_i \cdot v_i$必然为正（$v_i$是正定矩阵$B_{k-1}$的对角元，恒正），不会出现除以接近0的数值问题，误差积累可控。

关于你之前的Cholesky分解思路的问题 #

如果一定要用Cholesky路径，其实需要先从$A^{{-1}$反推$A$的Cholesky因子（$A}{-1}$的Cholesky因子是$L^{-T}$，需要对其求逆得到$L$），再对$A+R$做Cholesky更新。但这个过程额外增加了矩阵求逆的开销，反而不如上面的逐次修正法高效，而且多次秩1更新Cholesky确实容易积累数值误差，不推荐。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者a06e