证明多项式p(t)及其各阶导数构成P₃向量空间的一组基

要搞定这个证明，我们只需要抓住基的核心判定逻辑：这组向量线性无关，且它们的数量刚好等于P₃的维度（4维）——因为在n维向量空间里，n个线性无关的向量必然能张成整个空间，自然就构成一组基。

第一步：先写出各阶导数的具体形式 #

已知 ( p(t) = t^3 + a_2t^2 + a_1t + a_0 )，我们先把它的各阶导数算出来：

• 一阶导数：( \frac{dp}{dt} = 3t^2 + 2a_2t + a_1 )
• 二阶导数：( \frac{d^2p}{dt2} = 6t + 2a_2 )
• 三阶导数：( \frac{d^3p}{dt3} = 6 )

第二步：证明这组多项式线性无关 #

假设存在实数 ( c_0, c_1, c_2, c_3 )，使得：

c₀p(t) + c₁·dp/dt + c₂·d²p/dt² + c₃·d³p/dt³ = 0

这里的0是零多项式（也就是所有项的系数都为0的多项式）。

把各个多项式代入后整理同类项：
[
c_0(t^3 + a_2t^2 + a_1t + a_0) + c_1(3t^2 + 2a_2t + a_1) + c_2(6t + 2a_2) + c_3·6 = 0
]

按t的幂次拆分系数，逐个令其为0：

• ( t^3 ) 项系数：( c_0 = 0 )
• ( t^2 ) 项系数：( c_0a_2 + 3c_1 = 0 )，代入 ( c_0=0 ) 得 ( 3c_1=0 ) → ( c_1=0 )
• ( t ) 项系数：( c_0a_1 + 2a_2c_1 + 6c_2 = 0 )，代入 ( c_0=0, c_1=0 ) 得 ( 6c_2=0 ) → ( c_2=0 )
• 常数项：( c_0a_0 + c_1a_1 + 2a_2c_2 + 6c_3 = 0 )，代入前三个系数为0的结果得 ( 6c_3=0 ) → ( c_3=0 )

只有 ( c_0=c_1=c_2=c_3=0 ) 这一组解，说明这4个多项式线性无关。

第三步：结合空间维度得出结论 #

P₃是所有次数≤3的单变量多项式构成的向量空间，它的维度是4（标准基可以取 ( {1, t, t^2, t^3} )）。我们已经找到了4个线性无关的向量，根据线性代数的基本结论：n维空间里，任意n个线性无关的向量都能构成该空间的一组基。

所以，集合 ( {p, \frac{dp}{dt}, \frac{d^2p}{dt2}, \frac{d^3p}{dt3}} ) 确实是P₃的一组基。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elena