如何证明τ是自然数集ℕ上的拓扑？

我来帮你一步步拆解这个证明，咱们就对着拓扑定义的三个条件逐个验证，思路会非常清晰：

1. 验证空集∅和全集ℕ属于τ #

这是最基础的一步：

• 根据τ的定义，空集∅本身就被包含在τ里，直接满足条件。
• 对于全集ℕ，它的补集是ℕ \ ℕ = ∅，而空集是有限集（元素个数为0），完全符合τ中“ℕ\A有限的子集A”的要求，所以ℕ属于τ。

2. 验证τ中任意子族的并集仍属于τ #

这里分两种情况讨论就不会乱：

• 如果子族里包含全集ℕ：那不管其他集合是什么，它们的并集必然是ℕ，而我们已经确认ℕ属于τ，这就满足条件了。
• 如果子族里的集合都是**有限补集（即ℕ\A有限的A）**或者空集：
  设这个子族为{ A_i | i∈I }，其中每个A_i要么是空集，要么ℕ\A_i是有限集。
  我们看它们的并集∪_{i∈I}A_i的补集：

  ℕ \ (∪_{i∈I}A_i) = ∩_{i∈I}(ℕ\A_i)
  

  每个ℕ\A_i都是有限集，而任意多个有限集的交集还是有限集（毕竟交集是每个有限集的子集，子集不可能比原集合更大）。既然补集是有限集，那∪_{i∈I}A_i就符合τ的定义，属于τ。
  （空集在并集中完全不影响结果，因为空集和任何集合的并还是那个集合本身）

3. 验证τ中任意有限子族的交集仍属于τ #

同样分情况处理：

• 如果子族里包含空集：那它们的交集就是空集，而空集属于τ，直接满足条件。
• 如果子族里的集合都是有限补集：
  设这个有限子族为{ A₁, A₂, ..., Aₙ }，每个ℕ\A_k都是有限集。
  我们看它们的交集∩_{k=1}^n A_k的补集：

  ℕ \ (∩_{k=1}^n A_k) = ∪_{k=1}^n (ℕ\A_k)
  

  有限个有限集的并集肯定是有限集（有限个有限数相加结果还是有限的），所以这个补集是有限集，那∩_{k=1}^n A_k就属于τ。

这样三个拓扑定义的核心条件都满足了，所以τ确实是ℕ上的拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user15412