代数数a与b的和的代数共轭是否均为a'+b'形式？

答案是肯定的：给定代数数 (a) 和 (b)，(a+b) 的每一个代数共轭都能表示为 (a' + b')，其中 (a') 是 (a) 的某个代数共轭，(b') 是 (b) 的某个代数共轭。

核心逻辑 #

要理解这个结论，我们可以从代数共轭的本质入手：

• 代数数的共轭，本质是通过保持有理数不变的域嵌入（简单说就是把数映射到复数域里另一个满足相同有理系数多项式的数）得到的结果。
• 假设 (\alpha) 是 (a+b) 的任意一个代数共轭，那么存在一个嵌入 (\sigma)，把 (\mathbb{Q}(a+b)) 映射到 (\mathbb{C})，使得 (\sigma(a+b) = \alpha)。
• 借助域论里的嵌入延拓定理，我们可以把这个嵌入扩展到包含 (a) 和 (b) 的更大的域 (\mathbb{Q}(a,b)) 上，得到一个新的嵌入 (\tau)，这个 (\tau) 仍然保持有理数不变。
• 此时，(\tau(a)) 就是 (a) 的一个共轭（因为它满足 (a) 的极小多项式），(\tau(b)) 是 (b) 的一个共轭，而 (\alpha = \tau(a+b) = \tau(a) + \tau(b))——完美符合我们要的形式。

直观例子 #

举两个例子帮你理解：

• 基础案例：设 (a = \sqrt{2})，(b = \sqrt{3})，(a+b = \sqrt{2}+\sqrt{3})。它的共轭是 (\sqrt{2}+\sqrt{3})、(\sqrt{2}-\sqrt{3})、(-\sqrt{2}+\sqrt{3})、(-\sqrt{2}-\sqrt{3})，每一个都是 (a) 的共轭（(\pm\sqrt{2})）和 (b) 的共轭（(\pm\sqrt{3})）的和。
• 复杂一点的案例：设 (a = \sqrt{2+\sqrt{2}})（它的极小多项式是 (x^4-4x2+2)，共轭包括 (\pm\sqrt{2+\sqrt{2}})、(\pm\sqrt{2-\sqrt{2}})），(b = \sqrt{3})。(a+b) 的所有共轭，比如 (\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{3})，就是 (a) 的共轭 (\sqrt{2-\sqrt{2}}) 加 (b) 的共轭 (-\sqrt{3}) 的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex Kindel