如何应用罗尔定理证明存在t∈(0,1)使g''(t)=0？

这题用罗尔定理两步就能拆解明白，我给你理清楚每一步的逻辑：

先明确罗尔定理的核心条件 #

若函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可导；
3. $f(a)=f(b)$；
   则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

第一步：对原函数$g(x)$应用罗尔定理 #

• 条件验证：题目隐含$g(x)$在$[0,1]$上连续、$(0,1)$内可导（毕竟能求二阶导数，必然满足一阶可导且连续），再加上已知$g(0)=g(1)=0$，完全符合罗尔定理的三个前提。
• 结论：根据罗尔定理，存在某个$c∈(0,1)$，使得$g'(c)=0$。

第二步：对导函数$g'(x)$应用罗尔定理 #

• 条件验证：$g'(x)$作为$g(x)$的一阶导数，在$[0,c]$上连续、$(0,c)$内可导（因为$g(x)$二阶可导），同时已知$g'(0)=0$，再结合第一步得出的$g'(c)=0$，端点值相等，满足罗尔定理条件。
• 结论：存在某个$t∈(0,c)$，而$(0,c)$是$(0,1)$的子集，所以$t∈(0,1)$，使得$g''(t)=0$。

总结一下 #

本质就是两次嵌套使用罗尔定理：先通过原函数的端点相等找到一阶导数的零点，再通过一阶导数的两个零点（已知的$g'(0)=0$和刚找到的$g'(c)=0$），锁定二阶导数的零点，正好满足题目要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者NoteBook