均匀分布下B抽取数字至大于X/2的期望次数求解

嘿，我来一步步拆解这个问题，帮你找到答案！

1. 明确变量与核心概率 #

首先，A女士选的X是$[0,1]$上的均匀分布，概率密度函数为$f_X(x)=1$（当$0\leq x\leq1$时）。B先生每次抽取的$Y_i$都是独立的$[0,1]$均匀变量，先计算给定$X=x$时，单次抽到大于$x/2$的数的概率：

$p(x) = P(Y_i > x/2) = 1 - x/2$
（均匀分布中，变量大于某个值的概率等于1减去该值，毕竟整个区间长度为1）

2. 条件期望：给定$X=x$时的抽取次数期望 #

B先生的抽取次数$N$属于典型的几何分布——直到第一次成功才停止，几何分布的期望为$1/$单次成功概率。因此给定$X=x$时，$N$的条件期望是：
E[N | X=x] = 1/(1 - x/2) = 2/(2 - x)

3. 用全期望公式计算无条件期望 #

我们需要的是不依赖$X$的总体期望，这时候用全期望公式：$E[N] = E[E[N | X]]$，对$X$的所有可能值积分（因为$X$是连续型变量）：
$$
E[N] = \int_{0}^{1} E[N | X=x] \cdot f_X(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{2}{2 - x} dx
$$

用换元法计算积分：令$u=2-x$，则$du=-dx$，积分上下限从$x=0→u=2$，$x=1→u=1$，转换后：
$$
\int_{2}^{1} \frac{2}{u} (-du) = \int_{1}^{2} \frac{2}{u} du = 2[\ln u]_{1}^{2} = 2(\ln2 - \ln1) = 2\ln2
$$

所以最终答案是选项(a) $2\ln2$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Meera Unni