求函数f(n)=l+m的闭合形式（n=2^l·m，l非负整数、m正奇数）

嘿，针对你提出的这个问题，我来分享几个实用的思路：

首先得明确，你定义的函数f(n)本质上是把正整数n分解为2^l · m（l是非负整数，m是正奇数）后，取指数l与奇数m的和。对于非2幂次的偶数，其实我们可以从这几个角度来描述它的“闭合形式”：

• 用数论标准函数表示
  这里的l其实就是数论里的2-adic赋值函数，记作v₂(n)，它的定义就是n中包含的2的因子的最高次幂的指数（简单说就是n能被2整除多少次）。所以f(n)可以直接写成：
  f(n) = v₂(n) + n / 2^{v₂(n)}
  这个表达式是完全精确的，而且是数论领域里的标准表述。比如拿n=12来说，v₂(12)=2，代入后就是2 + 12/4 = 5，和计算结果一致。

• 基于二进制表示的直观表述
  从二进制的角度看，n的二进制末尾的0的个数就是l，去掉这些末尾0之后剩下的二进制数对应的十进制值就是m。所以f(n)也可以描述为：
  f(n) = （n的二进制末尾0的个数） + （n右移末尾0的个数位后得到的数）
  这个方式非常直观，计算起来也很方便，比如n=18是二进制10010，末尾1个0，右移1位得到9，所以1+9=10，完全正确。

• 接受“分场景的闭合形式”
  其实很多依赖于整数分解的函数，本身就没有那种只用到加减乘除、对数等基础函数的单一闭合形式——因为整数分解本身就没有这样的闭合表达式。所以我们可以把f(n)的完整闭合形式分场景写出来：

  当n为奇数时，f(n)=n；
  当n为2的幂次时，f(n)=log₂(n)+1；
  当n为非2幂次的偶数时，f(n)=v₂(n) + n/2^{v₂(n)}
  这样的分场景表述已经是最清晰、最精确的闭合形式了。

另外，如果你是在编程里需要计算这个函数，用v₂(n)的逻辑很容易实现，比如在Python里可以用(n & -n).bit_length() - 1来快速得到v₂(n)，然后再计算n除以2的l次方加上l即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asdfghjk